Coordinate generalizzate

In meccanica lagrangiana un sistema di coordinate generalizzate (o lagrangiane) è un sistema di coordinate, di numero pari o superiore ai gradi di libertà del sistema, che determina univocamente lo stato del sistema.

Definizione

Dato un sistema meccanico con $I$ gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio cartesiane, nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore ${\bar {x}}=(x_{d})$, con $m\geq n$, è possibile esprimere ogni variabile $x_{d}$ in funzione del vettore ${\bar {r}}=(r_{i})$. Ogni $r_{i}$ è detta variabile generalizzata:

${\begin{cases}x_{1}=\phi (r_{1},\dots ,r_{I})\\x_{2}=\phi (r_{1},\dots ,r_{I})\\\dots \;\;\dots \\x_{D}=\phi (r_{1},\dots ,r_{I})\end{cases}}$

dove ${\bar {r}}=(r_{i})\in A\subset \mathbb {R} ^{n}$ con $A$ aperto, e ${\bar {\phi }}:A\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ è una funzione regolare. Queste devono costituire necessariamente un insieme di generatori dello spazio vettoriale I-dimesionale degli stati del sistema, mentre non è necessario che siano linearmente indipendenti. Ciò non è vero ad esempio in presenza di vincoli che legano tra di loro alcune tra le $x_{i}$. Le coordinate generalizzate possono quindi anche essere rappresentate da grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio dall'energia meccanica o dal volume del sistema.

Esempi

Un sistema di N particelle nello spazio D-dimensionale può avere fino a N D gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di N corpi rigidi può avere fino a 6N coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi). Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio 3D ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il centro di massa del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.

Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una curva regolare $\phi (t),\phi :\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea $q=t$, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.

Analogamente un corpo vincolato ad una superficie ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è $\lbrace r_{1},r_{2}\rbrace =\lbrace \theta ,\phi \rbrace$, dove $\theta$ e $\phi$ sono le coordinate di angolo provenienti dalle coordinate sferiche. La coordinata $r$ è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.

Un doppio pendolo costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani $(x,y)$, con l'asse y verticale discendente, da quattro coordinate cartesiane $\lbrace x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\rbrace$, ma il sistema ha solo due gradi di libertà, ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili lagrangiane l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo $\lbrace r_{1},r_{2}\rbrace =\lbrace \theta _{1},\theta _{2}\rbrace$ otteniamo le seguenti relazioni:

$\lbrace x_{1},y_{1}\rbrace =\lbrace l_{1}\sin \theta _{1},l_{1}\cos \theta _{1}\rbrace$

$\lbrace x_{2},y_{2}\rbrace =\lbrace l_{1}\sin \theta _{1}+l_{2}\sin \theta _{2},l_{1}\cos \theta _{1}+l_{2}\cos \theta _{2}\rbrace$

dove $l_{1}$ è la lunghezza del pendolo vincolato all'origine e $l_{2}$ è la lunghezza del pendolo vincolato all'estremità libera dell'altro.

Velocità generalizzata

Ogni coordinata generalizzata $r_{i}$ è associata ad una velocità generalizzata ${\dot {r}}_{i}$, definita come:

${\dot {r}}_{i}{\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}{dr_{i} \over dt}$

Nell'ipotesi che le coordinate sono linearmente indipendenti fra loro, esse dipendono solo dal tempo:

${\dot {r}}_{i}={\partial r_{i} \over \partial t}$

Sia dato un sistema di $N$ particelle in D dimensioni, quindi con al massimo $ND$ gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima $(X_{nd})$, e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili come una matrice $X\in R^{N\times D}$. Si può passare ad un sistema di riferimento formato da $ND$ coordinate generalizzate se esistono le $D+1$ equazioni di trasformazione tra le $D$ coordinate cartesiane e le generalizzate:

$x_{d}=x_{d}\left(r_{n},t\right)$

Queste equazioni possono infatti essere derivate nel tempo, ottenendo le velocità:

${\dot {x}}_{d}{\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}{\frac {d}{dt}}x_{d}\left(r_{n},t\right)=\sum _{i=1}^{ND}{\frac {\partial x_{d}}{\partial r_{i}}}{\partial r_{i} \over \partial t}+{\frac {\partial x_{d}}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{ND}{\frac {\partial x_{d}}{\partial r_{i}}}{\dot {r}}_{i}+{\frac {\partial x_{d}}{\partial t}}$

e quindi il vettore D-dimensionale velocità è dato da:

${\dot {\bar {x}}}_{({\dot {\bar {r}}})}=\nabla {\bar {x}}\cdot {\dot {\bar {r}}}+{\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial t}}$

Quantità di moto generalizzata

La quantità di moto generalizzata è definita come grandezza corrispondente alle quantità di moto newtoniane:

$q_{i}{\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}\sum _{n=1}^{N}p_{n}{\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial r_{i}}}=\sum _{n=1}^{N}m_{n}{\dot {\bar {x}}}_{n}{\frac {\partial {\dot {\bar {x}}}_{n}}{\partial {\dot {r}}_{i}}}={\frac {\partial {\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{n}{\dot {\bar {x}}}_{n}^{2}}}{\partial {\dot {r}}_{i}}}$

Risulta che:

$q_{i}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {r}}_{i}}}=\sum _{j=1}^{I}H_{ij}T_{({\bar {0}})}{\dot {r}}_{j}+\nabla _{i}T_{({\bar {0}})}$

Quest'ultima equivalenza può essere comprovata utilizzando la dimostrazione delle equazioni di Lagrange. La quantità di moto generalizzata vale dunque:

${\bar {q}}_{({\dot {\bar {r}}})}={\bar {H}}T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\bar {r}}}+\nabla T_{({\bar {0}})}$

Si tratta di una forma lineare dell'energia cinetica nelle velocità generalizzate. Per un sistema olonomo, in particolare, risulta:

${\bar {q}}_{({\dot {\bar {r}}})}={\bar {H}}T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\bar {r}}}$

Si deve porre attenzione nel legare quantità di moto generalizzate e forze generalizzate, in quanto le quantità di moto lagrangiane sono in base alle equazioni di Lagrange del I tipo:

$q_{i}=\int F_{i}-{\frac {\partial T}{\partial r_{i}}}dt=p_{i}-\int {\frac {\partial T}{\partial r_{i}}}dt$

e differiscono quindi per il secondo termine $-\int {\frac {\partial T}{\partial r_{i}}}dt$ dal momento coniugato $p_{i}=\int F_{i}dt$ cui si arriverebbe tentando di generalizzare la definizione newtoniana di forza come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il secondo principio della dinamica.

In coordinate cartesiane, la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramente la quantità di moto semplice, mentre in coordinate sferiche diventa il momento angolare. In generale però non ne è sempre possibile una interpretazione intuitiva.

Energia cinetica in coordinate generalizzate

L'energia cinetica di N particelle è data in meccanica newtoniana D-dimensionale come:

$T:\mathbb {R} ^{ND}\to \mathbb {R}$

$T_{({\dot {\bar {x}}})}{\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}m_{n}{\dot {\bar {x}}}_{n}\cdot {\dot {\bar {x}}}_{n}$

Esprimendo gli N vettori posizione newtoniani ${\bar {x}}_{({\bar {r}})}$ (delle particelle rispetto ai D assi cartesiani) in funzione delle I coordinate lagrangiane $r_{i}$:

$T_{({\dot {\bar {r}}})}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}m_{n}\left({\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{I}{\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial r_{i}}}{\dot {r}}_{i}\right)\cdot \left({\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{I}{\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial r_{j}}}{\dot {r}}_{j}\right)$.

Svolgendo e raccogliendo nelle velocità generalizzate ${\dot {r}}_{i}$:

$T_{({\dot {\bar {r}}})}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}{m_{n}}({\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial t}})^{2}+\sum _{i=1}^{I}\sum _{n=1}^{N}{m_{n}}{\frac {(\partial {\bar {x}}_{n})^{2}}{\partial r_{i}\partial t}}{\dot {r}}_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{I}\sum _{n=1}^{N}{m_{n}}{\frac {(\partial {\bar {x}}_{n})^{2}}{\partial r_{i}\partial r_{j}}}{\dot {r}}_{i}{\dot {r}}_{j}$

se :$\quad T_{({\bar {0}})}{\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}\quad {\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}{m_{n}}({\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial t}})^{2},$

$\quad \nabla _{i}T_{({\bar {0}})}{\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}\quad {\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\sum _{n=1}^{N}m_{n}{\bar {x}}_{n}{\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial t}}=\sum _{n=1}^{N}{m_{n}}{\frac {(\partial {\bar {x}}_{n})^{2}}{\partial r_{i}\partial t}},\,$ per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate: $\nabla m_{n}={\bar {0}},\,$

$\quad {\bar {\bar {H}}}_{ij}T_{({\bar {0}})}{\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}\quad {\frac {{\partial }^{2}}{\partial r_{i}\partial r_{j}}}\sum _{n=1}^{N}m_{n}({\bar {x}}_{n})^{2}=\sum _{n=1}^{N}{m_{n}}{\frac {(\partial {\bar {x}}_{n})^{2}}{\partial r_{i}\partial r_{j}}},\,$ per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate: ${\bar {\bar {H}}}m_{n}={\bar {0}}.$

Quindi riassumendo vettorialmente l'identità scalare:

$T_{({\dot {\bar {r}}})}=T_{({\bar {0}})}+\sum _{i=1}^{I}\nabla _{i}T_{({\bar {0}})}{\dot {r}}_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{I}H_{ij}T_{({\bar {0}})}{\dot {r}}_{i}{\dot {r}}_{j}$

si ottiene infine:

$T_{({\dot {\bar {r}}})}=T_{({\bar {0}})}+\nabla T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\bar {r}}}+{\frac {1}{2}}{\dot {\bar {r}}}\cdot {\bar {\bar {H}}}T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\bar {r}}}$

$T:\mathbb {R} ^{I}\to \mathbb {R}$

L'energia cinetica in coordinate lagrangiane è in conclusione una serie di Taylor in I variabili del second'ordine nel vettore velocità ${\dot {\bar {r}}}$, definita positiva poiché lo è l'hessiana H che vi compare. Inoltre i due termini lineare $\nabla T_{({\bar {0}})}$ e costante $T_{({\bar {0}})}$ dipendono in generale dal tempo: nel caso di un sistema olonomo l'energia cinetica si riduce a

$T|_{({\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial t}}=0)}={\frac {1}{2}}{\dot {\bar {r}}}\cdot {\bar {\bar {H}}}_{\dot {\bar {r}}}T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\bar {r}}}={\frac {1}{2}}{\bar {p}}\cdot {\dot {\bar {r}}}$

È importante ricordare che le coordinate lagrangiane rispetto a cui si determina l'energia cinetica hanno l'ulteriore vantaggio di non dovere necessariamente essere inerziali, a differenza di quelle cartesiane.

Forza generalizzata

Le forze generalizzate sono definite come in numero di I grandezze scalari, con I il grado di libertà del sistema:

$F_{i}{\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}{\frac {\partial W}{\partial r_{i}}}=\sum _{n=1}^{N}{\bar {F}}_{n}\cdot {\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial r_{i}}},$

Dove W è il lavoro della risultante attiva F agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze forza e momento meccanico prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.

Nel caso di vincoli bilaterali permettono di ignorare nell'analisi del sistema le reazioni vincolari (di risultante R), anche per sistemi scleronomi: dato uno spostamento virtuale $\delta x_{n}$, ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli considerati come fissi all'istante di riferimento, il lavoro virtuale agente sull'n-esima particella del sistema vale:

$\delta W_{n}=({\bar {F}}_{n}+{\bar {R}}_{n})\cdot {\bar {\delta }}{\bar {x}}_{n}$

Se i vincoli del sistema sono bilaterali, per il principio delle reazioni vincolari i lavori virtuali vincolari sono nulli, e cioè le reazioni sono ortogonali agli spostamenti virtuali:

$\delta W_{i}=F_{i}\cdot \delta {\bar {x}}_{i}$

Esprimendo $\delta {\bar {x}}_{n}$ in funzione delle coordinate generalizzate $r_{i}$, e ricordando che ${\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial t}}=0$ per definizione di spostamento virtuale:

$\delta W_{n}=\sum _{i=1}^{I}{\bar {F}}_{n}\cdot {\frac {\partial {\bar {x}}_{n}}{\partial r_{i}}}\delta r_{i}=\sum _{i=1}^{I}F_{n,i}\cdot \delta r_{i}$

Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. A livello ingegneristico dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno spostamento virtuale $\delta r_{h}$, oppure alle sollecitazioni esterne imposte realmente dai vincoli, l'approccio Lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.

In base alle equazioni di Lagrange del I tipo e in forma di Nielsen si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema: $F_{i}={\dot {p}}_{i}={\partial {T} \over \partial {{\dot {r}}_{i}}}-2{\partial {T} \over \partial r_{i}}$, Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine $-{\frac {\partial T}{\partial r_{i}}}$ dalla derivata temporale della quantità di moto ${\dot {q}}_{i}$, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di forza basata sul secondo principio della dinamica, valida solo per la dinamica newtoniana.

Bibliografia

• Wells, D.A., Schaum's Outline of Lagrangian Dynamics; McGraw-Hill, Inc. New York, 1967.

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Calcolo delle variazioni
• Equazioni di Hamilton
• Grado di libertà (meccanica classica)
• Lagrangiana
• Lavoro virtuale
• Meccanica hamiltoniana
• Meccanica lagrangiana
• Metodo variazionale
• Principio di Fermat
• Principio di Maupertuis
• Principio variazionale di Hamilton
• Teorema di Noether
• Trasformazioni canoniche
• Teoria di Hamilton-Jacobi

Collegamenti esterni

• http://www.physics.northwestern.edu/ugrad/vpl/mechanics/pendulum.html Pendolo doppio (plugin Java)