Differenze tra le versioni di "Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer"

Jump to navigation Jump to search
m
→‎Introduzione matematica: fix wlink, notazione matematica e correzioni
m (→‎Introduzione matematica: fix wlink, notazione matematica e correzioni)
 
== Introduzione matematica ==
Nel [[1922]] [[Louis Mordell]] ha dimostrato il [[teorema di Mordell]], che afferma che il [[gruppoGruppo (matematica)|gruppo]] di punti razionali su una [[curva ellittica]] haè una basefinitamente finitagenerato. Questo significa che per ogni curva ellittica vi è un [[sottogruppo]] finito di punti razionali sulladella curva, da cui tutti igli successivialtri punti razionali possono essere generatiottenuti. Se il numero di punti razionali su unadella curva è [[infinitoInfinito (matematica)|infinito]], allora almeno un certo punto di unadella base finita deve avere ordine infinito.
 
Il numero di generatori del gruppo dei punti razionali è chiamato ''rango'' della curva ellittica, ed è un'importante proprietà di invarianza delle curve ellittiche. Se il rango di una curva ellittica è <math>0</math>, allora la curva ha solo un numero finito di punti razionali. D'altro canto, se il gradorango della curva è maggiore di <math>0</math>, allora la curva ha un numero infinito di punti razionali. Sebbene il teorema di Mordell mostra che il grado di una curva ellittica è sempre finito, non fornisce un metodo efficace per calcolare la posizione di ogni curva. Il rango di alcune curve ellittiche può essere calcolato utilizzando metodi numerici, ma (allo stato attuale delle conoscenze), questi non possono essere generalizzati per gestire tutte le curve.
Il numero di punti con base indipendente è chiamato grado della curva, ed è un'importante proprietà di invarianza di una curva ellittica.
Se il rango di una curva ellittica è 0, allora la curva ha solo un numero finito di punti razionali. D'altro canto, se il grado della curva è maggiore di 0, allora la curva ha un numero infinito di punti razionali. Sebbene il teorema di Mordell mostra che il grado di una curva ellittica è sempre finito, non fornisce un metodo efficace per calcolare la posizione di ogni curva. Il rango di alcune curve ellittiche può essere calcolato utilizzando metodi numerici, ma (allo stato attuale delle conoscenze), questi non possono essere generalizzati per gestire tutte le curve.
 
Una funzione ''L'' <math>L (E, s)</math> può essere definita per una curva ellittica <math>E</math> con la costruzione di un prodotto di [[Eulero]] dalutilizzando il numero di punti sulladella curva modulosu ogniun [[numerocampo primofinito]] ''di <math>p''</math> elementi con <math>p</math> [[Numero primo|primo]]. Questa funzione L è analoga alla [[funzione zeta di Riemann]] e alle [[seriefunzioni L di Dirichlet]] che è definita per una forma quadratica binaria.e Sisi tratta di un caso particolare di una funzione L di [[Helmut Hasse|Hasse]]-[[André Weil|Weil]].
 
La naturale definizione di ''<math>L (E, s)''</math> come serie converge solo per valori di ''<math>s''</math> nel [[piano complesso]] con <math>\mathrm{Re }(s)> \frac{3/}{2}</math>. [[Helmut Hasse]] ha congetturato che <math>L (E, s)</math> potrebbe essere estesa per [[prolungamento analitico]] in tutto il piano complesso. Questa ipotesi è stata dimostrata da Max Deuring per curve ellittiche con [[moltiplicazione complessa]]. È stato successivamente dimostrato che questo è vero per tutte le curve ellittiche, come una conseguenza del [[Teorema di Taniyama-Shimura|teorema di modularità]].
 
Trovare punti razionali su una generica curva ellittica è un problema difficile. Trovare i punti su una curva ellittica modulo ''<math>p''</math> numero primo invece è concettualmente semplice, in quanto vi sono solo un numero finito di possibilità da controllare. Tuttavia, per grandi numeri primi è computazionalmente faticoso.
 
== Enunciato della congettura ==

Menu di navigazione