Funzione tau sui positivi

I primi 250 valori della funzione τ

In matematica la funzione tau sui positivi o funzione dei divisori, è una funzione che associa ad ogni numero intero positivo il numero dei suoi divisori, inclusi uno e il numero stesso, viene solitamente indicata con $\operatorname {\tau } (n)$ o $\operatorname {d} (n)$,

La funzione vale 1 per 1, 2 per tutti i numeri primi e un valore maggiore di 2 per tutti gli altri interi positivi.

È una funzione moltiplicativa; dato $n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}$ (dove questa è la fattorizzazione di n in numeri primi), la si può calcolare con la formula

$\tau (n)=(q_{1}+1)(q_{2}+1)\cdots (q_{k}+1)$

Segue una tabella dei valori di tau per i primi 20 numeri interi positivi:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
τ(n)	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4
n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
τ(n)	2	6	2	4	4	5	2	5	2	6

Proprietà

La funzione divisore appare nei coefficienti della serie di Dirichlet del quadrato della funzione zeta di Riemann:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d\left(n\right)}{n^{s}}}=\zeta \left(s\right)^{2}.$

Inoltre, costituisce un caso particolare della funzione sigma, in quanto si ha $d\left(n\right)=\sigma _{0}\left(n\right)$. In particolare, soddisfa la seguente identità di Lambert:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }d\left(n\right)x^{n}.$

Voci correlate

• Funzione sigma sui positivi