Logaritmo naturale

Grafico di y=ln(x)

Il logaritmo naturale, descritto per la prima volta da Nepero, è il logaritmo in base e, dove e è uguale a 2,71828... Il logaritmo naturale è definito per tutte le x reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.

Definizione

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che ln(x) è il numero per cui $e^{\ln(x)}=x$. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le x positive e reali.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:

Il logaritmo naturale di $a$ è l'area sottesa dal grafico di $1/x$ da 1 ad $a$. In altre parole, è il risultato dell'integrale

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx\quad \quad {\text{ per ogni }}a>0$.

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

Questo può essere dimostrato definendo $t=x/a$ e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)$

Il numero $e$ può essere definito come l'unico numero reale $a$ tale che $\ln(a)=1$.

Convenzioni

• I matematici sono soliti utilizzare la scrittura "ln(x)" per intendere log_e(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log₁₀(x) è il logaritmo in base 10 di x).
• Ingegneri, biologi e altre professioni generalmente scrivono "ln(x)" o (raramente) "log_e(x)" per intendere il logaritmo naturale di x, mentre per "log(x)" sottintendono log₁₀(x).
• Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
• Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base 10.

La funzione inversa dell'esponenziale in base e

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale:

$e^{\ln(x)}=x$      per tutte le x positive e

$\ln(e^{x})=x\,\!$      per tutte le x reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base positiva escluso 1, non solo e, e possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

Derivata

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da:

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

Serie comuni

La serie di Taylor centrata in 1 del logaritmo naturale è:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ per }}-1<x\leq 1$

Utilizzando l'identità

$\ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right){\text{ per }}x>0$

e sostituendo ${\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$ nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

$\ln x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1}{\text{ per }}x>0$

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni x con valore assoluto maggiore di 1:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots$

Si noti inoltre che $x \over {x-1}$ è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero y è sufficiente sostituire $y \over {y-1}$ al posto di x.

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

${\frac {1}{\ln x}}={\frac {1}{x-1}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{-n}}{1+x^{2^{-n}}}}{\text{ per }}x>0$

Integrali e regole di integrazione

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma g(x) = f '(x)/f(x) che si traducono nella scrittura ln(|f(x)|): l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

$\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$

Cioè

$\int {dx \over x}=\ln |x|+C$

e

$\int {{f^{'}(x) \over f(x)}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

Esempi

Se g(x) = tg(x), allora:

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

Se f(x) = cos(x) e f'(x) = sen(x), allora:

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C$

dove C è la costante arbitraria degli integrali indefiniti.

Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su quelli in base 10 che erano tabulati più spesso. È ancora utile oggi per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di 10):

$\log _{b}x=(\log _{k}b)(\log _{k}x)$

che diventa per b=10 e k=e:

$\log _{10}x=(\ln 10)(\ln x)$

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

$\ln 10=2{,}30258...$.

$\log _{10}e=0,43429...$

Voci correlate

• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche
• Serie di Mercator