Principio di non contraddizione

Nella logica classica, il principio di non-contraddizione afferma la falsità di ogni proposizione implicante che una certa proposizione A e la sua negazione, cioè la proposizione A, siano entrambe vere allo stesso tempo e nello stesso modo. Secondo le parole di Aristotele:

«È impossibile che il medesimo attributo, nel medesimo tempo, appartenga e non appartenga al medesimo oggetto e sotto il medesimo riguardo»

(Aristotele)

Più semplicemente, la proposizione "A è anche non-A" è falsa. In simboli, ciò è espresso come segue:

$\neg (A\wedge \neg A).\,$

Il principio di non contraddizione è fondamentale

Fin dal Medioevoè noto un interessante risultato della Logica: in un sistema di logica dicotomica in cui sia vera una affermazione ed anche la sua negazione, è vera qualsiasi affermazione. Tale assunzione è solitamente citata nella letteratura latina come ex falso quodlibet, e come principio di esplosione nella logica moderna.

Conclusioni

Un sistema logico dove siano valide le comuni regole di inferenza e dove sia anche presente una contraddizione, ossia sia VERA (completamente vera) una affermazione e anche la sua negazione, è privo di logica, di struttura e di informazione, poiché tutte le affermazioni sono vere (comprese le loro negazioni). E quindi non può essere interessante poiché non comunica informazione. Questo risultato è anche noto come principio di esplosione. La banalizzazione di un sistema in cui sia presente contraddizione può essere evitata solo a patto di indebolire il sistema stesso, scartando regole di inferenza o assiomi. Questo avviene nelle cosiddette logiche paraconsistenti.

Logiche a più valori

Sebbene in una logica polivalente (avendo opportunamente definito gli operatori AND e NEG) si possa avere che la forma classica del principio di non contraddizione cessi di valere, ossia in termini grado di verità:

$v(A\wedge \neg A)>0.\,$

per qualche proposizione (che è impossibile in logica classica a causa del principio di bivalenza), è in ogni modo utile rilevare che un'altra forma del principio di non contraddizione continua a funzionare nelle logiche a più valori (come la citata logica fuzzy) nella forma seguente:

una affermazione e la sua negazione non possono essere ambedue simultaneamente completamente vere,

che si traduce nella diseguaglianza in termini di grado di verità:

$v(A\wedge \neg A)<1.\,$

Nella logica fuzzy, si ha ad esempio

$\mu (\neg A)\wedge \mu (A)=min(\mu (A),1-\mu (A))$

perché l'AND logico è rappresentato dal minimo dei due valori, valendo inoltre

$\mu (\neg A)=1-\mu (A)$

appare ovvio che il risultato non potrà mai essere maggiore di 1/2. Ben si comprende che nel caso esistano solo due valori di verità, come nella logica aristotelica, si ottiene l'enunciato sopra esposto. In questo senso si può sostenere che il principio di non-contraddizione continua a valere in logica polivalente.

Logiche polivalenti di Gödel e prodotto

Nella logica polivalente di Gödel e nella logica polivalente prodotto, la negazione di una proposizione si definisce nella maniera seguente:

$v(\neg A)=0.\,$ se $v(A)>0.\,$ ,

$v(\neg A)=1.\,$ se $v(A)=0.\,$.

Si noti che in generale:

$V(A)+V(\neg A)\leq 1$

Si trova dunque un interessante risultato:

$v(A\wedge \neg A)=0.\,$

e quindi in tali logiche polivalenti è addirittura valida la forma standard del principio di non-contraddizione. Questo sta a confermare il fatto che in generale la polivalenza non implica la negazione in alcuna forma del principio di non contraddizione.

Logica di Jan Łukasiewicz ad infiniti valori di verità

Sotto opportune condizioni, quali quelle che vigono nella logica di Łukasiewicz ad infiniti valori di verità (logica fuzzy), si ha che il principio di non contraddizione diviene per qualsivoglia asserzione $A$:

$V(A)+V(\neg A)=1$

Questa di fatto è la definizione della negazione nella logica fuzzy di Łukasiewicz e di Zadeh. È interessante rilevare che l'equazione logica:

$V(A)=V(\neg A)=1-V(A),$

che è priva di soluzioni nell'insieme degli interi (in particolare, nel sottoinsieme degli interi {0,1}), ammette invece la soluzione frazionaria: $v=1/2$ nel campo dei numeri reali (in particolare, nel sottoinsieme individuato dall'intervallo chiuso [0,1]) e ciò segue precisamente dal principio di non-contraddizione. Il punto fondamentale rimane comunque che in un sistema fuzzy quale quello di Łukasiewicz o di Zadeh, è impossibile dimostrare (VERE) sia un'affermazione che la propria negazione (che implicherebbe: $V(A)+V(\neg A)=2$). Dunque possiamo concludere che le logiche di Łukasiewicz e di Zadeh, non sono paraconsistenti ed in tal senso non violano il principio di non contraddizione.

Logica quantistica

La meccanica quantistica, scoprendo che un quanto può essere allo stesso tempo due rappresentazioni opposte di una stessa realtà (particella e onda) si discosta dalla logica aristotelica avvicinandosi a una concezione "eraclitea" in cui tutto il divenire può essere e non essere contemporaneamente.

«Il mare è l'acqua più pura e impura: per i pesci è potabile e gli conserva la vita, per gli uomini è imbevibile e mortale»

(Eraclito)

Bibliografia

• Bart Kosko, Satoru Isaka, Logica «sfumata», Le Scienze, Settembre 1993, no.301
• Ludovico Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico

Voci correlate

• Contraddizione
• Identità degli indiscernibili
• Logica paraconsistente
• Principio del terzo escluso
• Consistenza

Collegamenti esterni

• Dimostrazione del Principio di non contraddizione fatta in Deduzione Naturale e Calcolo dei Sequenti, su esercizidilogica.blogspot.it. URL consultato il 21 luglio 2013.