Tensore metrico

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura.

Definizioni

Prodotto scalare non degenere in ogni punto

Un 'tensore metrico è un campo tensoriale $g$ definito su una varietà differenziabile, di tipo $(0,2)$, simmetrico e non degenere in ogni punto.

Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.

Coordinate

Un tensore è indicato in coordinate come $g_{ij}$. Per ogni punto $x$ della varietà, fissato una carta locale, il tensore in $x$ è rappresentato quindi da una matrice simmetrica $g_{ij}(x)$ con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di $x$ all'interno della carta.

Segnatura

Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice $g_{ij}(x)$ è la stessa per ogni $x$ se la varietà è connessa.

Se la segnatura è di tipo $(n,0)$, cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.

Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura $(1,3)$. Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.

Esempi

Metrica euclidea

Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è dotato della metrica euclidea, che può essere descritta da un tensore metrico $g$. Lo spazio tangente di ogni punto è identificato naturalmente con $\mathbb {R} ^{n}$. Rispetto a questa identificazione, il tensore $g$ è la matrice identità per ogni punto dello spazio.

Varietà immersa

Sia $X$ una varietà differenziabile in $\mathbb {R} ^{n}$. Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su $X$: si tratta dello stesso prodotto scalare, ristretto in ogni punto di $X$ al sottospazio dei vettori tangenti a $X$. Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in $\mathbb {R} ^{n}$ ha una struttura di varietà riemanniana.

Ad esempio, il tensore indotto sulla sfera, scritto in coordinate sferiche $(\theta ,\phi )$, è dato da

$g=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{array}}\right]$

e può essere riassunto nella forma

$ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.$

Spaziotempo di Minkowski

Lo spaziotempo di Minkowski è lo spazio $\mathbb {R} ^{4}$ dotato del tensore

$g={\begin{bmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\$

che può essere riassunto nella forma

$ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.$

La costante $c$ è la velocità della luce. Il tensore si ricava come unica soluzione di coordinate che soddisfa l'invarianza della distanza fra due punti per tutti i sistemi di riferimento, vale a dire il sistema a due equazioni ponendo: $ds=ds'$.

Il tensore di Minkowsky corrisponde a un piano senza ostacoli nè curvature. Le sue geodetiche sono linee rette, ma il cambiod i segno temporale introduce la peculiarità che non corrispondono più alla distanza più breve fra due punti, ma alla più lunga.

Indici di un tensore

Tensore metrico coniugato

Al tensore metrico $g_{ij}$ è associato un analogo tensore di tipo $(0,2)$, denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto $g^{ij}$. Il tensore è definito in coordinate come la matrice inversa di $g_{ij}$ (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la trasposta). Questo tensore è detto a volte tensore metrico coniugato. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:

$g_{\nu \mu }g^{\mu \gamma }=\delta _{\nu }^{\gamma }$

scritta con la notazione di Einstein, dove il tensore $\delta$ è la delta di Kronecker definita da

$\delta _{\nu }^{\gamma }={\begin{cases}1&\mathrm {se} \ \nu =\gamma \\0&\mathrm {altrimenti} \end{cases}}$

Alzamento e abbassamento di indici

Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli spazi tangente e cotangente di una varietà.

Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto contraendo opportunamente con i tensori $g_{ij}$ e $g^{ij}$. Ad esempio, un vettore $A^{\mu }$ viene trasformato in un covettore

$A_{\nu }=g_{\nu \mu }A^{\mu }.$

Alternativamente,

$A^{\mu }=g^{\mu \gamma }A_{\gamma }.$

Voci correlate

• Metrica indotta
• Tensore
• Spazio metrico
• Varietà riemanniana