Rotore (matematica)

Nel calcolo differenziale vettoriale, il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore vettoriale che ne descrive la rotazione infinitesima, associando ad ogni punto dello spazio un vettore. Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione. Ad esempio, se come campo vettoriale si considera la velocità delle particelle che compongono un qualche fluido, il rotore del campo vettoriale è la densità di circolazione del fluido. I campi vettoriali che hanno rotore uguale a zero sul proprio dominio sono chiamati irrotazionali.

Il rotore, indicato con $\nabla \times$, misura la massima componente rotazionale piana nello sviluppo di Taylor di un campo vettoriale al primo ordine, ovvero nella linearizzazione del campo in 3 dimensioni. Pertanto, si tratta di un tipo di derivazione di un campo vettoriale. La relativa integrazione avviene tramite il teorema del rotore, caso particolare del teorema di Stokes, che mette in relazione l'integrale di superficie $S$ del rotore del campo vettoriale con l'integrale di linea del campo vettoriale lungo la frontiera $\partial S$ di $S$.

A differenza di gradiente e divergenza, generalizzare il rotore a spazi di dimensione maggiore non è semplice. Esistono alcune generalizzazioni, ma solo in tre dimensioni la definizione geometrica di rotore di un campo vettoriale fornisce un altro campo vettoriale.

Interpretazione intuitiva

Supponiamo che un campo vettoriale (tridimensionale) $\mathbf {F}$ descriva la velocità di un liquido o un gas. Immaginando di fissare il centro di una piccola sfera in un punto, se questa sferetta ha una superficie ruvida allora inizierà a ruotare su se stessa, mossa dallo scorrere del liquido. Il rotore $\nabla \times \mathbf {F}$ valutato nel centro della sfera è un vettore che ha come direzione l'asse di rotazione della sfera e come lunghezza la metà del valore assoluto del momento angolare della sfera. Inoltre, il senso di rotazione è associato al vettore in accordo con la regola della mano destra.

Definizione

Sotto l'ipotesi che un campo vettoriale $\mathbf {F}$ sia di classe $C^{1}$, il rotore $\nabla \times \mathbf {F}$ di $\mathbf {F}$ è definito in ogni punto attraverso la sua proiezione su un versore $\mathbf {\hat {n}}$ posto nel punto: si tratta del valore dell'integrale di linea $\scriptstyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$ del campo in un piano ortogonale a $\mathbf {\hat {n}}$ nel limite in cui la curva $C$ di integrazione si riduce ad un punto, cioè nel limite in cui l'area $A$ delimitata da $C$ tende ad annullarsi, diviso per l'area $|A|$. Questo si esprime col prodotto scalare:

$(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {\hat {n}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{A\to 0}\left({\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \right)$

Si tratta di una scrittura del teorema del rotore, e si può interpretare tale prodotto scalare tra $\nabla \times \mathbf {F}$ ed un vettore unitario $\mathbf {n}$ di $\mathbb {R} ^{3}$ come densità superficiale di circuitazione del campo $\mathbf {F}$ attorno alla direzione $\mathbf {\hat {n}}$.

Coordinate ortogonali

In coordinate cartesiane, il rotore di un campo vettoriale $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$ è il campo vettoriale $\nabla \times \mathbf {F}$ definito da:

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\\\{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{(\nabla \times \mathbf {F} )_{x}}\\\\{(\nabla \times \mathbf {F} )_{y}}\\\\{(\nabla \times \mathbf {F} )_{z}}\end{pmatrix}}.$

Un semplice modo per calcolare il rotore è quello di scrivere, con un abuso di notazione, il determinante formale della seguente matrice:

$\det {\begin{pmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {i} \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)+\mathbf {j} \left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)+\mathbf {k} \left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)$

Dove $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$, e $\mathbf {k}$ sono i versori degli assi. Nella notazione di Einstein utilizzando i simboli sviluppati da Levi-Civita, il rotore viene scritto come:

$(\nabla \times \mathbf {F} )_{k}=\epsilon _{klm}\partial _{l}F_{m}$

Coordinate cilindriche

Dato un sistema di riferimento in coordinate cilindriche:

${\begin{cases}x=\rho \cos \phi \\y=\rho \,\mathrm {sen} \,\phi \\z=z\end{cases}}$

se il campo vettoriale ha componenti $\mathbf {F} (\rho ,\phi ,z)=\mathbf {e} _{\rho }\ F_{\rho }+\mathbf {e} _{\phi }\ F_{\phi }+\mathbf {e} _{z}\ F_{z}$, il suo rotore in coordinate cilindriche è dato da:

$\nabla \times \mathbf {F} =$

$=\mathbf {e} _{\rho }\ \left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial z}}\right)+\mathbf {e} _{\phi }\ \left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)+\mathbf {e} _{z}\ {\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial (\rho F_{\phi })}{\partial \rho }}-{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \phi }}\right)$

Rotore come derivata esterna

Ad un campo vettoriale $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$ nello spazio possiamo associare una corrispondente 1-forma differenziale

$\omega =F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z$

allora la sua derivata esterna risulta essere la 2-forma

$\mathrm {d} \omega =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)dz\wedge dx+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)dx\wedge dy$

$=(\nabla \times \mathbf {F} )_{x}dy\wedge dz+(\nabla \times \mathbf {F} )_{y}dz\wedge dx+(\nabla \times \mathbf {F} )_{z}dx\wedge dy$

Proprietà

Rotore del gradiente

Il rotore del gradiente di qualsiasi funzione F di classe $C^{2}$ (derivabile due volte con derivate seconde continue) è sempre nullo.

Dimostrazione:

$\nabla \times (\nabla \Phi )=\nabla \times (F_{x},F_{y},F_{z})\rightarrow \nabla \times (\nabla \Phi )=det{\begin{pmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{pmatrix}}$

$={\vec {i}}(F_{zy}-F_{yz})+{\vec {j}}(F_{xz}-F_{zx})+{\vec {k}}(F_{yx}-F_{xy})$.

Essendo le componenti del campo di classe $C^{2}$, per il teorema di Schwarz le derivate miste sono uguali, quindi le quantità all'interno della parentesi si annullano e si ottiene il vettore nullo $(0,0,0)$.

Rotore del rotore

Questa proprietà deriva direttamente dal doppio prodotto vettoriale dove:

${\vec {a}}\times \left({\vec {b}}\times {\vec {c}}\right)={\vec {b}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)-{\vec {c}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)$.

Quindi nel caso del doppio rotore:

${\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}\right)={\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}\right)-{\vec {F}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right)={\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}\right)-\nabla ^{2}{\vec {F}}$.

Ovvero, sinteticamente, il rotore del rotore è uguale al gradiente della divergenza meno il laplaciano.

Esempi

Equazioni note

Nella terza equazione di Maxwell, espressione locale della legge di Faraday-Neumann-Lenz, il rotore del campo elettrico è uguale e opposto al tasso di variazione della densità di flusso magnetico:

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

In condizioni stazionarie, cioè se i campi non variano nel tempo, otteniamo la conservatività del campo elettrico:

$\nabla \times \mathbf {E} =0$

Inoltre nella quarta equazione di Maxwell, espressione locale della legge di Ampère-Maxwell, il rotore del campo magnetico è:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

che, in condizioni magnetostatiche, diventa:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$

Un semplice campo vettoriale

Consideriamo il seguente campo vettoriale, che dipende da x e da y linearmente:

$\mathbf {F} (x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {x}}}-x{\boldsymbol {\hat {y}}}.$

Diagrammandolo nel piano cartesiano abbiamo:

Già dalla semplice ispezione visiva, possiamo notare che il campo sta ruotando. Usando la regola della mano destra, ci aspettiamo che il rotore sia entrante verso la pagina. Usando un sistema di coordinate cartesiane standard, ciò corrisponde alla direzione delle z negative. La mancanza delle componenti x e y in questo rotore è analoga a quanto avviene nel prodotto vettoriale.

Calcolando il rotore secondo la definizione, otteniamo

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {x}}}+0{\boldsymbol {\hat {y}}}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]{\boldsymbol {\hat {z}}}=-2{\boldsymbol {\hat {z}}}$

Ciò corrisponde effettivamente ad un vettore orientato nel verso opposto all'asse z, come previsto. In questo caso il rotore è costante nello spazio, indipendentemente dal punto che consideriamo. La "quantità" di rotazione nel campo vettoriale considerato è la stessa in ogni punto (x,y). Il diagramma del rotore di F risulta quindi banalmente:

Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente

Sia ora $\mathbf {F} =\left({\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\ {\frac {-x}{x^{2}+y^{2}}},\ 0\right)$. Si noti che tale campo non è definito sui punti dell'asse $z$ ed è ottenuto moltiplicando il campo dell'esempio precedente per l'inverso del quadrato della distanza dall'asse $z$, quindi un lettore inesperto potrebbe essere indotto a pensare che anche in questo caso il rotore di ${\vec {F}}$ debba essere non nullo (una semplice ispezione visiva in questo caso non aiuta molto, anzi è fuorviante!). In realtà, è facile verificare che tale campo è irrotazionale (cioè il suo rotore è nullo):

$\nabla \times \mathbf {F} =\left(0-0,\ 0-0,\ {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}-{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)=(0,\ 0,\ 0).$

Il campo in questione, a meno di costanti moltiplicative, coincide con il campo magnetico generato da un filo infinito (l'asse $z$) percorso da una corrente continua: si tratta appunto di un campo irrotazionale anche se non globalmente conservativo (il lavoro del campo lungo qualunque circuitazione che non racchiuda l'asse $z$ è nullo, mentre non è nullo se la circuitazione racchiude tale asse).

Bibliografia

• (EN) Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
• (EN) Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, New York, Dover Publications, pp. 157–160, ISBN 0-486-41147-8.

Voci correlate

• Gradiente
• Divergenza
• Tensore di Kong
• Teorema del rotore
• Teorema di Helmholtz
• Teorema di Stokes