Numero primo di Sophie Germain

Un numero primo di Sophie Germain è un numero primo p tale che 2p + 1 sia anch'esso un numero primo. Il numero 2p + 1 è invece chiamato primo sicuro.

I numeri primi di Sophie Germain minori di 10⁴ sono:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791. (EN) Sequenza A005384, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è 18543637900515 · 2⁶⁶⁶⁶⁶⁸ - 1 (200701 cifre scoperto nell'aprile 2012 da Philipp Bliedung).

Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain, ma il numero di numeri primi di Sophie Germain minori di un dato numero n può essere stimato euristicamente con la formula $2C_{2}n/(\ln n)^{2}$, dove la C₂ corrisponde alla costante dei numeri primi gemelli.

I primi di Sophie Germain sono collegati con i primi di Mersenne. Se un primo di Sophie Germain è della forma p = 4k - 1, allora $2^{p}-1$ non è un numero primo.

I primi di Sophie Germain sono inoltre collegati con l'ultimo teorema di Fermat. Se p è un primo di Sophie Germain, non ci sono tre numeri interi tali che 2p+1 non divide il prodotto xyz e che

$x^{p}+y^{p}=z^{p}$

Dimostrazione

Sia $q=2p+1$. Allora $p=(q-1)/2$ e

$x^{p}+y^{p}-z^{p}=0$

implica $+(-1)+(-1)+(-1)=0$ (mod q), che è impossibile poiché q > 3.

Dimostrazione 2

Sia $p$ un primo di Sophie Germain, cioè $2p+1=p'$ è un numero primo, per assurdo esistano tre numeri x,y,z tali che 2p+1 non divide xyz e che

$x^{p}+y^{p}=z^{p}$

elevando al quadrato entrambi i membri della prima equazione si ricava

$(x^{p}+y^{p})^{2}=z^{2p}=z^{p'-1}$

e per il piccolo teorema di Fermat

$(x^{p}+y^{p})^{2}=1$ mod p'

da cui

$x^{2p}+2x^{p}y^{p}+y^{2p}=1$ mod p'

$x^{p'-1}+2x^{p}y^{p}+y^{p'-1}=1$ mod p'

$2x^{p}y^{p}=-1$ mod p'

In modo analogo si ricava che

$2x^{p}z^{p}=1$ mod p'

$2y^{p}z^{p}=1$ mod p'

quindi

$2x^{p}y^{p}+2x^{p}z^{p}=0$ mod p'

$2x^{p}y^{p}+2y^{p}z^{p}=0$ mod p'

e

$2x^{p}(y^{p}+z^{p})=0$ mod p'

$2y^{p}(x^{p}+z^{p})=0$ mod p'

Ricordando che p' non divide né x né y né z allora

$x^{p}+y^{p}+2z^{p}=0$ mod p'

$3z^{p}=0$ mod p'

ma ciò è impossibile poiché p' dovrebbe dividere z.