Topologia quoziente

In topologia, la topologia quoziente è intuitivamente quella ottenuta da uno spazio topologico "attaccando" alcuni punti fra loro. Lo spazio topologico che si ottiene viene anche chiamato spazio quoziente.

Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico e $\sim$ una relazione di equivalenza su $X$. Definiamo una topologia sull'insieme quoziente $X/{\sim }$ (che consiste di tutte le classi di equivalenza di $\sim$) nel modo seguente: un insieme di classi di equivalenze in $X/{\sim }$ è aperto se e solo se la loro unione è aperta in $X$.

Sia $q:X\to X/{\sim }$ la proiezione che manda ogni elemento di $X$ nella sua classe. Elenchiamo alcune definizioni equivalenti di topologia quoziente sull'insieme $X/{\sim }$:

Proprietà universale della topologia quoziente

• Un insieme in $X/{\sim }$ è aperto se e solo se lo è la sua controimmagine tramite $q$ in $X$.
• La topologia su $X/{\sim }$ è la topologia più fine fra tutte quelle che rendono la mappa $q$ continua.
• La topologia su $X/{\sim }$ è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: se $g:X\to Z$ è una funzione continua tale che $a\sim b$ implica $g(a)=g(b)$ per ogni $a$ e $b$ in $X$, allora esiste una unica funzione continua $f:X/{\sim }\to Z$ tale che $g=f\circ q$.

Nell'ultima definizione, diciamo che $g$ scende al quoziente.

Esempi

• Incollamento. In topologia si costruiscono numerosi spazi per "incollamento". Se X è uno spazio topologico e due punti x e y di X vengono incollati, si costruisce lo spazio quoziente tramite la seguente semplice relazione di equivalenza: a ~ b se e solo se a = b oppure a = x, b = y (oppure a = y, b = x). I due punti quindi diventano un punto solo. Ad esempio, in questo modo si può ottenere uno spazio connesso da uno avente due componenti connesse.

• In generale, se A è un sottoinsieme di uno spazio topologico X, si costruisce uno spazio quoziente che "identifica A ad un solo punto" mediante la relazione di equivalenza a ~ b se e solo se a e b sono elementi di A. Tale spazio viene talvolta indicato con X/A

• Consideriamo X = R l'insieme di tutti i numeri reali, e poniamo x ~ y se e solo x−y è un intero. Lo spazio quoziente X/~ è omeomorfo al cerchio S¹ tramite la mappa che manda la classe di equivalenza di x su exp(2πix).
• L'esempio precedente può essere esteso in dimensione arbitraria. Consideriamo X = Rⁿ e poniamo x ~ y se e solo se le i-esime coordinate dei vettori x e y differiscono di un intero, per ogni i. Lo spazio quoziente è omeomorfo al toro se n = 2, ed è chiamato toro n-dimensionale per n qualsiasi. Il toro n-dimensionale è omeomorfo al prodotto di n cerchi.
• La bottiglia di Klein può essere ottenuta quozientando il toro tramite una opportuna relazione di equivalenza.
• Il nastro di Möbius può essere ottenuto quozientando l'anello tramite una opportuna relazione di equivalenza.
• Lo spazio proiettivo è ottenuto quozientando uno spazio vettoriale privato dell'origine tramite la relazione seguente: x ~ y se e solo se x e y sono multipli (cioè stanno sulla stessa retta).

Proprietà

• Se X soddisfa qualche assioma di separazione, lo spazio quoziente X/~ può non soddisfarlo. Ad esempio, X/~ è T1 se e solo se ogni classe di equivalenza di ~ è chiusa in X.

Poiché la proiezione sul quoziente è continua, la topologia di quest'ultimo eredita alcune proprietà dello spazio iniziale. Quindi:

• Se X è connesso, anche X/~ lo è.
• Se X è compatto, anche X/~ lo è.