Logaritmo naturale: differenze tra le versioni
m Annullate le modifiche di 94.102.139.138 (discussione), riportata alla versione precedente di Harlock81 |
m r2.7.3) (Bot: Aggiungo sh:Prirodni logaritam |
||
Riga 150: | Riga 150: | ||
[[pt:Logaritmo natural]] |
[[pt:Logaritmo natural]] |
||
[[ru:Натуральный логарифм]] |
[[ru:Натуральный логарифм]] |
||
[[sh:Prirodni logaritam]] |
|||
[[sr:Природни логаритам]] |
[[sr:Природни логаритам]] |
||
[[sv:Naturliga logaritmen]] |
[[sv:Naturliga logaritmen]] |
Versione delle 11:57, 18 gen 2013
Il logaritmo naturale, descritto per la prima volta da Nepero, è il logaritmo in base e, dove e è uguale a 2,71828... Il logaritmo naturale è definito per tutte le x reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.
Definizione
Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che ln(x) è il numero per cui . Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le x positive e reali.
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:
Il logaritmo naturale di è l'area sottesa dal grafico di da 1 ad . In altre parole, è il risultato dell'integrale
- .
Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
Questo può essere dimostrato definendo e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
Il numero può essere definito come l'unico numero reale tale che .
Convenzioni
- I matematici sono soliti utilizzare la scrittura "ln(x)" per intendere loge(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log10(x) è il logaritmo in base 10 di x).
- Ingegneri, biologi e altre professioni generalmente scrivono "ln(x)" o (raramente) "loge(x)" per intendere il logaritmo naturale di x, mentre per "log(x)" sottintendono log10(x).
- Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
- Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base 10.
La funzione inversa dell'esponenziale in base e
La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale:
- per tutte le x positive e
- per tutte le x reali.
In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base positiva escluso 1, non solo e, e possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
Derivata
La derivata della funzione logaritmo naturale è data da:
Serie comuni
La serie di Taylor centrata in 1 del logaritmo naturale è:
Utilizzando l'identità
e sostituendo nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene
Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni x con valore assoluto maggiore di 1:
Si noti inoltre che è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero y è sufficiente sostituire al posto di x.
Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
Integrali e regole di integrazione
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma g(x) = f '(x)/f(x) che si traducono nella scrittura ln(|f(x)|): l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
Cioè
e
Esempi
Se g(x) = tg(x), allora:
Se f(x) = cos(x) e f'(x) = sen(x), allora:
dove C è la costante arbitraria degli integrali indefiniti.
Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base
Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base 10. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di 10):
che diventa:
ricordando che log(e) equivale a scrivere log10(e).
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
e
- .