Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy

In matematica, il teorema di esistenza e unicità, detto anche teorema di Peano e Picard assicura che, dato un problema di Cauchy della forma:

$\Theta =\left\{{\begin{array}{ll}y'&=f(x,y)\\y(x_{0})&=y_{0}\end{array}}\right.$

con $x_{0}\in \mathbb {R}$ e $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, sotto opportune ipotesi sulla funzione $f(x,y)$ è garantita l'esistenza di un'unica soluzione $y=y(x)$ che soddisfa il sistema $\Theta$ in un intorno ${I_{\delta }}\,=\,\left[{x_{0}}-\delta ,{x_{0}}+\delta \right]$ di $x_{0}$, con un $\delta$ opportuno. $y$ può essere sia una funzione scalare che vettoriale, quindi il teorema è anche valido per risolvere un sistema di equazioni differenziali.

Le due dimostrazioni riportate di seguito forniscono stime più o meno accurate sul valore di $\delta$. Nelle due differenti versioni questo teorema è detto anche teorema di Cauchy-Lipschitz e teorema di Picard-Lindelöf.

Condizioni sulla funzione

Le opportune ipotesi su $f$ possono essere riassunte come segue:

1. $f$ deve essere definita in un intorno del punto $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ della forma

   $I\times J=\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}:|x-x_{0}|\leq a,\|y-y_{0}\|\leq b\}$

   con $a$, $b$ reali positivi.
2. $f$ deve essere almeno di classe $C^{0}$ su tale intorno
3. $f$ deve essere lipschitziana rispetto alla variabile $y$, uniformemente rispetto alla variabile $x$, o in formule:

   $\|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})\|\leq L\cdot \|y_{1}-y_{2}\|\quad \forall x\in I,\quad \forall y_{1},y_{2}\in J$
   

   con $L>0$ costante di Lipschitz.

Formulazione integrale

Sotto l'ipotesi di continuità della funzione è possibile dimostrare l'equivalenza tra il problema di Cauchy e la seguente equazione integrale detta di Volterra:

$y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t\qquad \forall x\in I_{\delta }$

dove la $f$ è la stessa del problema di Cauchy, ovvero l'esistenza di una funzione $y=y(x)$ che soddisfa al sistema $\Theta$ si verifica se e solo se anche l'equazione sopra ammette soluzione.

Dimostrazioni

Qui di seguito sono elencate due diverse dimostrazioni del teorema di esistenza e unicità; la prima sfrutta concetti basilari di analisi funzionale, ed è la dimostrazione più "classica"; la seconda invece sfrutta argomenti di analisi reale, ed ha il pregio di mostrare come costruire operativamente una soluzione attraverso approssimazioni successive e di dare una stima generalmente più accurata del $\delta$ considerato sopra.

Prima dimostrazione

Sia $\delta <\min \left\{a,{\tfrac {1}{L}},{\tfrac {b}{M}}\right\}$ con $M=\max\{|f(x,y)|:(x,y)\in I\times J\}$. Si noti che $M\in \mathbb {R}$ per il teorema di Weierstrass (poiché $I\times J$ è compatto). Nel caso in cui $M=0$, ovvero qualora $f$ sia identicamente nulla, il sistema ammette come unica soluzione la funzione costante $y(x)=y_{0}$, quindi si può supporre $M\neq 0$.

Sia $I_{\delta }=[x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ]$. Possiamo considerare lo spazio metrico $(X,\|\cdot \|_{C^{0}})$ delle funzioni $g:I_{\delta }\to \mathbb {R} ^{n}$ continue con la norma dell'estremo superiore, ed una palla al suo interno, definita da $B=\{g\in X:\|g-y_{0}\|_{C^{0}}\leq b\}$.

Essendo lo spazio $X$ completo, e $B\subseteq X$ chiuso, allora anche quest'ultimo risulta essere uno spazio completo rispetto alla metrica indotta.

Si procede quindi definendo l'operatore $F:B\to B$ tale che $F(y)={\widehat {y}}$, dove

${\widehat {y}}=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t$

Si nota innanzitutto che $F$ è ben definito, ossia che $\forall y\in B$ si ha $F(y)\in B$. Infatti

$|{\widehat {y}}-y_{0}|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t\right|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y(t))\mathrm {d} t|\right|\forall x\in I_{\delta }$

Ma per ipotesi $|f(t,y(t))|\leq M$, da cui si deduce che

$|{\widehat {y}}-y_{0}|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y(t))\mathrm {d} t|\right|\leq M|x-x_{0}|\leq M\delta \leq b$

Una volta assicurata la buona definizione di $F$ è sufficiente dimostrare che questa è una contrazione su $B$ per completare il teorema. Il teorema delle contrazioni infatti ci assicura l'esistenza di un unico punto fisso (o punto unito) di $F$ in $B$, quindi nel nostro caso di una funzione $y=y(x)$ tale che $F(y)=y$, cioè

$y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t$

definita sull'intervallo $I_{\delta }$, e risolvente dunque il sistema $\Theta$. Tenendo conto delle ipotesi su f (in particolare la lipschitzianità) possiamo scrivere:

${\begin{aligned}|F(y_{1})-F(y_{2})|&=\left|\int _{x_{0}}^{x}[f(t,y_{1}(t))-f(t,y_{2}(t))\mathrm {d} t]\right|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{1}(t))-f(t,y_{2}(t))|\mathrm {d} t\right|\\&\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}L|y_{1}(t)-y_{2}(t)|\mathrm {d} t\right|\leq L\delta \|y_{1}-y_{2}\|_{C^{0}}\end{aligned}}$

e prendendo il "sup" tra le $x\in {I_{\delta }}$ si ottiene

$\|F(y_{1})-F(y_{2})\|_{C^{0}}\leq L\delta \|y_{1}-y_{2}\|_{C^{0}}$

e poiché $L\delta <1$ $F$ è una contrazione.

Seconda dimostrazione (Picard-Lindelöf)

Nel corso di questa dimostrazione alternativa giungeremo ad una stima generalmente più accurata del numero reale $\delta$. Inizialmente poniamo $\delta =\min\{a,{\tfrac {b}{M}}\}$. Il passo successivo consiste nel definire per ricorrenza una successione di funzioni $y_{k}:I_{\delta }\to \mathbb {R} ^{n}$ come

$\left\{{\begin{array}{ll}y_{0}(x)=y_{0}\\y_{k+1}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{k}(t))\mathrm {d} t\end{array}}\right.$

È necessaria quindi una verifica della buona definizione della successione, più precisamente bisogna mostrare (ad esempio tramite induzione) che $y_{k}(t)\in J\ \forall t\in I_{\delta }$; il passo base è immediato per come è stato definito $J$, mentre per il passo induttivo supponiamo $y_{k}\in J\forall t\in J$, da cui banalmente $(t,y_{k}(t))\in I_{\delta }\times J$. Per le ipotesi preliminarmente fatte su $f$ possiamo quindi maggiorare il valore assoluto di $f(t,y_{k}(t))$ con $M$. È dunque di immediata verifica che

$|y_{k+1}(x)-y_{0}|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{k}(t))\mathrm {d} t\right|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{k}(t))|\mathrm {d} t\right|\leq M|x-x_{0}|\leq M\delta \leq b$.

Si procede nella dimostrazione stimando ricorsivamente la distanza tra due termini consecutivi della successione puntualmente in $I_{\delta }$ con un metodo analogo a quello induttivo appena usato.

Inizialmente si ha

$|y_{1}(x)-y_{0}|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{k}(t))\mathrm {d} t\right|\leq M\left|x-x_{0}\right|$

mentre per i passi seguenti bisogna usare anche l'ipotesi di lipschitzianità di cui gode $f$:

${\begin{aligned}|y_{2}(x)-y_{1}(x)|&=\left|\int _{x_{0}}^{x}[f(t,y_{1}(t))-f(t,y_{0})]\mathrm {d} t\right|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{1}(t))-f(t,y_{0})|\mathrm {d} t\right|\\&\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}L|y_{1}(t)-y_{0}|\mathrm {d} t\right|\leq ML\left|\int _{x_{0}}^{x}|t-x_{0}|\mathrm {d} t\right|={\frac {ML}{2}}|x-x_{0}|^{2}\end{aligned}}$

Per avere una migliore comprensione della formula generale per la stima che verrà data tra poco è consigliabile sviluppare almeno un altro passo dell'induzione:

${\begin{aligned}|y_{3}(x)-y_{2}(x)|&=\left|\int _{x_{0}}^{x}[f(t,y_{2}(t))-f(t,y_{1}(t))]\mathrm {d} t\right|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{2}(t))-f(t,y_{1}(t))|\mathrm {d} t|\right|\\&\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}L|y_{2}(t)-y_{1}(t)|\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {ML^{2}}{2}}\left|\int _{x_{0}}^{x}|t-x_{0}|^{2}\mathrm {d} t\right|={\frac {ML^{2}}{3!}}|x-x_{0}|^{3}\end{aligned}}$

Risulta a questo punto chiara la seguente stima generale, alla quale si può giungere tramite processo induttivo:

$|y_{k+1}(x)-y_{k}(x)|\leq {\frac {ML^{k}}{(k+1)!}}|x-x_{0}|^{k+1}\quad \forall x\in I_{\delta }$

da cui possiamo dedurre la convergenza uniforme di questa successione di funzioni nell'intervallo $I_{\delta }$, dato che maggiorando ulteriormente con ${\frac {M}{L}}{\frac {L^{k+1}\delta ^{k+1}}{(k+1)!}}$ si ottiene chiaramente la ridotta della serie esponenziale numerica

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {M}{L}}{\frac {L^{k+1}\delta ^{k+1}}{(k+1)!}}={\frac {M}{L}}(e^{L\delta }-1)$.

Passando al limite per $k\rightarrow +\infty$ e sfruttando nuovamente la lipschitzianità di $f$ rispetto a $y$, otteniamo la convergenza uniforme di $f(t,y_{k}(t))$ a $f(t,y(t))$, ove $y(t)$ indica il limite della successione precedentemente analizzata.

Si può a questo punto utilizzare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per ottenere

$y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t$.

Ma questa è la formulazione integrale (ed equivalente) del problema di Cauchy, quindi per concludere la dimostrazione non resta altro che mostrare l'unicità di tale soluzione. Il modo migliore è procedere per assurdo: supponiamo esista un'altra funzione $g(x)$ definita in un intorno $I_{\delta '}$ (la notazione rimane coerente con quanto esposto in precedenza) della condizione iniziale $x_{0}$ e tale che esiste ${\tilde {x}}\in I_{\delta '}$ per cui $g({\tilde {x}})\neq y({\tilde {x}})$. Detto ${\tilde {\delta }}=min\{\delta ,\delta '\}$ si consideri la relazione (valida per ipotesi di assurdo)

$|g(x)-y_{0}|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,g(t))\mathrm {d} t\right|\leq M|x-x_{0}|\quad \forall x\in I_{\tilde {\delta }}$

Con un procedimento completamente analogo al precedente si giunge però alla stima

$|g(x)-y_{k}(x)|\leq {\frac {ML^{k}}{(k+1)!}}|x-x_{0}|^{k+1}\quad \forall x\in I_{\delta }$

Dato che il secondo membro della disuguaglianza tende a 0 al tendere di $k$ all'infinito, possiamo dedurre che

$g(x)=y(x)=\lim _{k\to +\infty }y_{k}\quad \forall x\in I_{\tilde {\delta }}$

che contraddice l'ipotesi.

Risolubilità globale e prolungabilità delle soluzioni

Il teorema è un valido strumento nello studio delle equazioni differenziali, ma a priori garantisce unicamente l'esistenza della soluzione localmente, ossia in un intorno delle condizioni iniziali. Il teorema di esistenza e unicità globale assicura invece l'esistenza di un'unica funzione risolvente $\theta$ in un intervallo arbitrario (eventualmente tutto $\mathbb {R}$), sotto ipotesi più strette (ad esempio la sublinearità rispetto a $y$ di $f$) rispetto a quelle richieste per la versione locale.

Se $f$ soddisfa queste ulteriori richieste si può dimostrare inoltre che la soluzione ammette un prolungamento massimale sul suo intervallo di definizione.

Riconducibilità di sistemi di grado arbitrario al primo

Questo teorema è di grande utilità, soprattutto se si considera che si può ricondurre un'equazione differenziale ordinaria di grado $n$ ad un sistema equivalente di $n$ equazioni differenziali di primo grado in forma normale tramite sostituzioni. Lo stesso vale per un sistema di equazioni in forma normale di grado arbitrario, come si può vedere nel terzo esempio a fine articolo.

Esempi

Sia dato il problema di Cauchy

$\left\{{\begin{array}{ll}y'=\lambda y\\y(0)=1\end{array}}\right.$

$f$ soddisfa tutte le ipotesi, quindi localmente la soluzione è unica (in realtà si potrebbe osservare che poiché $|f|\leq K|y|$ per una certa costante reale $K$ la soluzione è globalmente unica al variare di $\lambda \in \mathbb {R}$).

La soluzione è quindi (tenendo conto della condizione iniziale $y(0)=1$) la funzione $y=e^{\lambda x}$

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Vediamo invece un tipico esempio di un problema che non rispetta le ipotesi:

$\left\{{\begin{array}{ll}y'=3y^{\frac {2}{3}}\\y(0)=0\end{array}}\right.$

La funzione $f$ non è localmente lipschitziana rispetto a $y$ in nessun intorno dell'origine e infatti non si ha un'unica soluzione con questa condizione iniziale (anzi, se ne possono trovare infinite: è il fenomeno del pennello di Peano), quali ad esempio $y(x)=x^{3}$ o $y(x)=0$.

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Si consideri l'equazione differenziale del secondo ordine che descrive il moto armonico:

$y''+\omega ^{2}y=0,\quad \omega \in \mathbb {R}$

riconducibile mediante sostituzione al sistema

$\left\{{\begin{array}{ll}y'=z\\z'=-\omega ^{2}y\end{array}}\right.$

Aggiungendo le condizioni iniziali (la scelta $x_{0}=0$ è arbitraria) $y(0)=y_{0}$ e $z(0)=z_{0}$ si ottiene come unica soluzione

$y(x)=y_{0}\cos(\omega x)+{\frac {z_{0}}{\omega }}\sin(\omega x)$.

Voci correlate

• Equazione differenziale ordinaria
• Sistema di equazioni differenziali
• Augustin Cauchy
• Rudolph Otto Sigismund Lipschitz
• Émile Picard
• Ernst Leonard Lindelöf