Tensore metrico: differenze tra le versioni

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:<math>g = \begin{bmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \ </math>
che può essere riassunto nella forma
:<math>ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2.\,\!</math>
La costante <math>c</math> è la [[velocità della luce]].
 
=== Tensore metrico coniugato ===
Al tensore metrico <math>g_{ij}</math> è associato un analogo tensore di tipo <math>(0,2)</math>, denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto <math>g^{ij}</math>. Il tensore è definito in coordinate come la [[matrice inversa]] di <math>g_{ij}</math> (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la [[matrice trasposta|trasposta]]). Questo tensore è detto a volte ''tensore metrico coniugato''. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:
:<math>g_{\nu \mu} g^{\mu \gamma} = \delta_\nu^\gamma \,</math>
scritta con la [[notazione di Einstein]], dove il tensore <math>\delta</math> è la [[delta di Kronecker]] definita da
:<math>\delta_\nu^\gamma = \begin{cases} 1 & \mathrm{se} \ \nu=\gamma \\ 0 & \mathrm{altrimenti} \end{cases} \,</math>
 
=== Alzamento e abbassamento di indici ===
 
Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto [[contrazione di un tensore|contraendo]] opportunamente con i tensori <math> g_{ij} </math> e <math> g^{ij}</math>. Ad esempio, un vettore <math> A^\mu </math> viene trasformato in un covettore
:<math>A_\nu = g_{\nu \mu} A^\mu. \,</math>
Alternativamente,
:<math>A^\mu = g^{\mu \gamma} A_\gamma. \,</math>
 
== Voci correlate ==
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