Formula di Bretschneider: differenze tra le versioni

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In [[geometria]], la '''formula di Bretschneider''' per il calcolo dell'[[area]] di un [[quadrilatero]] corrisponde alla seguente espressione:
:<math> A = \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}</math>
Dove ''a, b, c, d'' sono i lati del quadrilatero, ''p'' è il semiperimetro, <math>\alpha \,</math> e <math>\gamma \,</math> sono i due angoli opposti.
 
La scoperta di tale formula si deve al [[matematico]] [[Germania|tedesco]] [[Carl Anton Bretschneider]]. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia [[Quadrilatero ciclico|ciclico]] o meno.
:<math> a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma, \, </math>
poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale ''BD''. Ciò può essere riscritto nella forma
:<math>\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma. \,</math>
 
Sostituendo questo nella formula di sopra per <math>4A^2</math>, si ottiene
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