Numero primo di Sophie Germain: differenze tra le versioni
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[[Due|2]], [[Tre|3]], [[Cinque|5]], [[Undici|11]], [[Ventitré|23]], [[Ventinove|29]], [[Quarantuno|41]], [[Cinquantatré|53]], [[Ottantatré|83]], [[Ottantanove|89]], [[Centotredici|113]], [[131_(numero)|131]], 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791. {{OEIS|A005384}} |
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Il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è |
Il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è 18543637900515 · 2<sup>666668</sup> - 1 (200701 cifre scoperto nell' [[aprile]] [[2012]] da Philipp Bliedung). |
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Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain, ma il numero di numeri primi di Sophie Germain minori di un dato numero ''n'' può essere stimato euristicamente con la formula <math>2C_2 n /(\ln n)^2</math>, dove la ''C''<sub>2</sub> corrisponde alla [[congettura dei numeri primi gemelli|costante dei numeri primi gemelli]]. |
Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain, ma il numero di numeri primi di Sophie Germain minori di un dato numero ''n'' può essere stimato euristicamente con la formula <math>2C_2 n /(\ln n)^2</math>, dove la ''C''<sub>2</sub> corrisponde alla [[congettura dei numeri primi gemelli|costante dei numeri primi gemelli]]. |
Versione delle 22:23, 17 apr 2012
Un numero primo di Sophie Germain è un numero primo p tale che 2p + 1 sia anch'esso un numero primo. Il numero 2p + 1 è invece chiamato primo sicuro.
I numeri primi di Sophie Germain minori di 104 sono:
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791. (EN) Sequenza A005384, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
Il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è 18543637900515 · 2666668 - 1 (200701 cifre scoperto nell' aprile 2012 da Philipp Bliedung).
Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain, ma il numero di numeri primi di Sophie Germain minori di un dato numero n può essere stimato euristicamente con la formula , dove la C2 corrisponde alla costante dei numeri primi gemelli.
I primi di Sophie Germain sono collegati con i primi di Mersenne. Se un primo di Sophie Germain è della forma p = 4k - 1, allora non è un numero primo.
I primi di Sophie Germain sono inoltre collegati con l'ultimo teorema di Fermat. Se p è un primo di Sophie Germain, non ci sono tre numeri interi tali che 2p+1 non divide il prodotto xyz e che
Dimostrazione
Sia . Allora e
implica (mod q), che è impossibile poiché q > 3.
Dimostrazione 2
Sia un primo di Sophie Germain, cioè è un numero primo, per assurdo esistano tre numeri x,y,z tali che 2p+1 non divide xyz e che
elevando al quadrato entrambi i membri della prima equazione si ricava
e per il piccolo teorema di Fermat
- mod p'
da cui
- mod p'
- mod p'
- mod p'
In modo analogo si ricava che
- mod p'
- mod p'
quindi
- mod p'
- mod p'
e
- mod p'
- mod p'
Ricordando che p' non divide né x né y né z allora
- mod p'
- mod p'
ma ciò è impossibile poiché p' dovrebbe dividere z.