Temperamento equabile

Il temperamento equabile è il sistema musicale per la costruzione della scala fondato sulla suddivisione dell'ottava in intervalli tra di loro uguali. Nell'uso più frequente, l'ottava è suddivisa in 12 parti (semitoni). Il temperamento così costituito è denominato 12-TET, ed è identificato come "temperamento equabile" per antonomasia dalla maggior parte dei musicisti occidentali.

Già descritto da Aristosseno di Taranto intorno al 320 a.C., questo sistema fu caldeggiato da numerosi intellettuali, tra cui spiccano il matematico fiammingo Simone Stevino verso la fine del XVI secolo, ed il musicista Vincenzo Galilei (padre di Galileo Galilei) nel 1581. Tuttavia la sua adozione fu graduale, a causa sia dell'estrema difficoltà di ottenere questo temperamento nell'accordatura degli strumenti (per mancanza di intervalli giusti di riferimento), sia del fatto che l'estetica musicale pre-romantica richiedeva nella scala la presenza di alcuni intervalli giusti, di cui veniva fatto uso per via del loro carattere "puro", pur essendo essi incompatibili con la suddivisione dell'ottava in parti uguali. Solo nella seconda metà del XIX secolo, con il graduale rilassamento della necessità di intervalli giusti a favore della flessibilità nel cambiamento di tonalità (modulazione), il temperamento equabile si affermò gradualmente in tutta Europa, sostituendo i temperamenti inequabili (o buoni temperamenti), in cui l'ottava non è divisa in parti uguali, quali quelli descritti dal tedesco Andreas Werckmeister nel 1691, Johann Georg Neidhart, Francesco Antonio Vallotti e da molti altri autori. Bisogna attendere fino al 1917 perché William Braid White arrivi a sviluppare un metodo praticamente utilizzabile per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso.

La costruzione della scala equabile 12-TET

Intervallo	Rapporto
Unisono	1
Seconda maggiore	${\sqrt[{12}]{2^{2}}}$
Terza maggiore	${\sqrt[{12}]{2^{4}}}$
Quarta giusta	${\sqrt[{12}]{2^{5}}}$
Quinta giusta	${\sqrt[{12}]{2^{7}}}$
Sesta maggiore	${\sqrt[{12}]{2^{9}}}$
Settima maggiore	${\sqrt[{12}]{2^{11}}}$
Ottava	2

Il temperamento equabile, nella variante 12-TET, può essere riguardato come "aggiustamento" dei gradi della scala naturale, in modo da dare uniformità ai vari tipi d’intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore e minore o semitono diatonico e cromatico. Proprio per questo, tra i temperamenti equabili, esso è quello di maggiore diffusione in occidente.

L’idea di base è semplice: suddividere l’ottava in 12 intervalli "elementari" (semitoni temperati) tutti esattamente della stessa ampiezza. Ricordiamo che l'ampiezza di un intervallo corrisponde al rapporto fra le frequenze fondamentali delle due note (e non alla differenza delle frequenze). Poiché l’intervallo di ottava è espresso dalla frazione 2/1 (in quanto la frequenza raddoppia ad ogni ottava), il rapporto di frequenze che identifica il semitono temperato è il numero (irrazionale) ${\sqrt[{12}]{2}}$: in questo modo dodici semitoni coprono esattamente l'intervallo di un’ottava.

Poiché ${\sqrt[{12}]{2}}\simeq 1,06\simeq 18/17$, il semitono “temperato” risulta essere una via di mezzo tra il semitono cromatico (25/24) e il semitono diatonico (16/15) della scala naturale. Il tono invece vale ${\sqrt[{12}]{2}}\times {\sqrt[{12}]{2}}\simeq 1,1224$, cioè è molto più vicino al tono maggiore naturale ($9/8=1,125$) che al tono minore ($10/9\simeq 1,111$). Come conseguenza, la terza maggiore temperata è decisamente crescente rispetto alla terza maggiore naturale (che è formata da un tono maggiore e un tono minore).

Temperamento equabile e scala logaritmica

Benché il temperamento equabile sia stato teorizzato prima dell'introduzione in matematica del concetto di logaritmo, l'operazione di suddivisione equabile dell'ottava risulta semplificata se, invece di associare a ciascun intervallo musicale il rapporto fra le frequenze fondamentali delle note che lo compongono, si associa all'intervallo il logaritmo di tale rapporto. In questo modo, infatti, la giustapposizione di due intervalli consecutivi (ad esempio due toni, che formano una terza maggiore) anziché essere rappresentata dal prodotto dei rapporti di frequenze corrispondenti, è rappresentato dalla somma dei rispettivi logaritmi. In questo modo, la suddivisione dell'ottava in semitoni uguali comporta la semplice divisione per 12 del corrispondente valore logaritmico, anziché l'estrazione di una radice dodicesima. Come si può leggere nella citazione riportata più sotto, già nei primi anni del XVIII secolo Gottfried Leibniz aveva ben presente la possibile applicazione di logaritmi alla scala musicale. Solo nel 1875, tuttavia, fu proposta da Alexander Ellis la misura logaritmica degli intervalli musicali oggi correntemente adottata: se le frequenze fondamentali di due note sono rispettivamente $f_{1}$ e $f_{2}$, al loro intervallo viene associato il valore in cent dato da $1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)$. Il valore in cent dell'ottava è quindi 1200, e il semitono equabile vale esattamente un dodicesimo dell'ottava, ossia 100 cent (il nome cent deriva appunto dal fatto che 1 cent rappresenta un centesimo di semitono equabile). La notazione in cent può essere applicata a qualunque scala musicale, ma usa comunque come riferimento la scala temperata equabile, mentre l'uso dei rapporti fra frequenze agevola il confronto con gli intervalli della scala naturale.

Vantaggi e svantaggi

Grado della scala	Scala temperata	Interv.	Nome interv.
I	0	-	-
II	200	200	Tono
III	400	200	Tono
IV	500	100	Semitono
V	700	200	Tono
VI	900	200	Tono
VII	1100	200	Tono
VIII	1200	100	Semitono

La scala maggiore temperata
(intervalli espressi in cent)

Il temperamento equabile è dunque un espediente teorico che, eliminando la distinzione tra tono maggiore/minore e semitono diatonico/cromatico, fa coincidere il suono di diesis e bemolli (es. Sol# = Lab), ottenendo che il tono si divida in due semitoni uguali. In questo modo anche su strumenti ad intonazione fissa il grado di consonanza degli accordi rimane lo stesso in tutte le tonalità, diversamente da quanto accadeva con i temperamenti inequabili (tra i quali, alcuni permettevano di suonare in tutte le tonalità, come esemplificato dal Clavicembalo ben temperato di J.S. Bach, ma con effetti volutamente diversi a seconda della tonalità). Il maggiore svantaggio è l'alterazione di tutti gli intervalli giusti (particolarmente rilevante e avvertibile negli intervalli di terza). Tale compromesso è spesso necessario nella prassi musicale occidentale contemporanea, ed è quindi tollerato, se pure distintamente avvertibile. Il filosofo e matematico Leibniz sottolineava, già nel 1709, che solo ascoltatori allenati riescono a cogliere i compromessi di intonazione della scala equabile:

(FR)

«Ayant consideré un jour et examiné par les Logarithmes l'ancienne division de l'octave en 12 parties egales qu'Aristoxene suivoit deja; et ayant remarqué combien ces intervalles egalement pris approchent des plus utiles de ceux de l'echelle ordinaire; j'ay cru que pour l'ordinaire on pourroit s'y tenir dans la practique; et quoyque les Musiciens et les oreilles delicates y trouveront quelque defaut sensible, presque tous les auditeurs n'en trouveront point, et en seront charmés.»

(IT)

«Avendo un giorno considerato ed esaminato per mezzo dei Logaritmi l'antica suddivisione dell'ottava in 12 parti uguali, che Aristosseno già seguiva, e avendo osservato quanto gli intervalli equalizzati che si ottengono in tal modo approssimano i più utili fra quelli della scala ordinaria, mi sono convinto che per lo più vi si potrebbe attenere nella pratica; e benché i musicisti e le orecchie più sensibili vi troveranno qualche imperfezione percepibile, pressoché tutti gli ascoltatori non ne avvertiranno alcuna, e ne saranno estasiati»

(Gottfried Wilhelm von Leibniz)

Nota	Frequenza con il temperamento equabile
Do	261,6 Hz
Re	293,7 Hz
Mi	329,6 Hz
Fa	349,2 Hz
Sol	392,0 Hz
La	440,0 Hz
Si	493,9 Hz

Le frequenze di un'ottava approssimate a 0,1 Hz.

In realtà, nella prassi musicale contemporanea, il temperamento equabile, più che soppiantare, ha affiancato i temperamenti inequabili. A causa della loro complessità di accordatura, e vista la necessità di eseguire frequentemente musica contemporanea, alcuni strumenti ad intonazione fissa (pianoforte, arpa moderna) lo adottano quasi sempre, pur con la conseguente perdita di espressività nella musica precedente il Novecento. Altri strumenti ad intonazione fissa (organo, arpe antiche, clavicembalo), più legati a tradizioni musicali precedenti, adottano a tutt'oggi temperamenti inequabili, in quanto solo così è possibile evidenziare contrasti che altrimenti andrebbero perduti. Gli strumenti ad arco ed i legni possono suonare sia secondo il temperamento equabile, sia variare l'altezza delle note di ogni singolo accordo per ottenere gli intervalli naturali, come si fa sistematicamente nella polifonia vocale. Alcuni strumenti, come la tromba naturale e il corno naturale, sono costruiti per emettere esclusivamente note armoniche (ossia frequenze multiple intere di una singola nota fondamentale. Questi strumenti suonano quindi secondo la scala naturale; nel corno è possibile correggere l'intonazione delle note inserendo la mano destra nel padiglione dello strumento (tecnica attestata a partire dal 1750, e oggi di uso corrente anche nel corno a pistoni). Nella moderna tromba a pistoni il problema di correggere l'intonazione dalla scala naturale al temperamento equabile si pone per quelle note che si ottengono direttamente come armonici, e alcuni modelli di tromba includono piccole coulisses addizionali per permettere tale correzione.

Voci correlate

• Temperamento (musica)
• Temperamento pitagorico
• Temperamento naturale
• Temperamento del tono medio
• Temperamenti Werckmeister

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Collegamenti esterni

• Accordatura e Temperamento equabile: di Marco Sicco