Numero palindromo

Un numero è palindromo quando le sue cifre, se scritte in una particolare base, rappresentano lo stesso valore sia che siano lette da destra che da sinistra.

Definizione formale

Stando alla sua definizione, il concetto di palindromicità di un numero viene applicato solo nell'insieme dei numeri interi, ed inoltre il numero preso in considerazione può essere scritto in qualsiasi base.

Sia n un numero intero e sia a₀a₁a₂...a_k la sua rappresentazione in cifre in una certa base b ≥ 2 (con a₀ ≠ 0). Allora n è palindromo se e solo se per ogni intero 0≤i≤k si ha a_i=a_k-i

Esempi

Un esempio di numero palindromo può essere:

$12345654321\,$

si può notare infatti che esso è simmetrico rispetto al suo centro:

$12345\ 6\ 54321\,$

quindi vale la definizione.

Numero di numeri palindromi minori di una potenza di dieci

Se si studia il numero dei numeri palindromi scritti in base 10 ed inferiori ad una certa potenza di 10 ci si può accorgere che esiste una certa regolarità

• Tutti i numeri con una sola cifra sono palindromi, quindi vi sono 10 numeri palindromi minori di 10¹.
• I palindromi con due cifre sono nove (in effetti i multipli di 11 minori di 100), quindi esistono 19 numeri palindromi minori di 10².
• Esistono 90 palindromi con 3 cifre quindi 109 palindromi minori di 10³.
• I palindromi minori di 10⁴ sono 199.

Se si prosegue con questo ragionamento incrementando le potenze di dieci si può ottenere la successione(EN) Sequenza A070199, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.:

$10,\,19,\,109,\,199,\,1099,\,1999,\,10999,\,19999,\,109999,\,199999,\,1099999,\,...$

La tabella seguente indica il numero di numeri palindromi minori di una certa potenza di dieci che possiedono una certa caratteristica

	101	102	103	104	105	106	107	108	109	1010
n naturale	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n pari	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n dispari	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n quadrato perfetto	4		7		14	15	20		31
n cubico	3		4	5			7			8
n primo (vedi anche: Primo palindromo)	4	5	20		113		781		5953
n privo di quadrati	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n non privo di quadrati (μ(n)=0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n quadrato perfetto con radice prima root	2		3		5
n con un numero pari di fattori primi distinti (μ(n)=1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n con un numero dispari di fattori primi distinti (μ(n)=-1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n pari con un numero dispari di fattori primi	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n pari con un numero dispari di fattori primi distinti	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n dispari con un numero dispari di fattori primi	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n dispari con un numero dispari di fattori primi distinti	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n pari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n dispari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n dispari con esattamente due fattori primi	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n pari con esattamente 2 fattori primi	2	3	11		64		413		+	+
n pari con esattamente 3 fattori primi	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n pari con esattamente 3 fattori primi distinti	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n dispari con esattamente 3 fattori primi	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n numero di Carmichael	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n per il quale σ(n) è palindromo	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Potenze perfette

Esistono vari numeri palindromi che sono anche potenze di altri numeri. Attualmente sono conosciuti solo numeri palindromi che possono essere espressi con una potenza di esponente 2, 3 o 4:

• I primi quadrati perfetti palindromi sono: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ...(EN) Sequenza A002779, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
• I primi numeri palindromi che possiedono una radice cubica intera sono: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (EN) Sequenza A002781, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
• I primi numeri palindromi esprimibili con una potenza di esponente 4 sono: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (EN) Sequenza A186080, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

G. J. Simmons e D. Rawlinson congetturano che non esistano palindromi esprimibili con potenze di esponente 4.

L'unico numero non palindromo conosciuto il cui cubo è un palindromo è 2201.

Formula generatrice di numeri palindromi in base 10

In base 10 una formula generatrice di parecchi numeri palindromi è la successione

$a(n)=(10^{n}+1)^{k}{\mbox{ con }}n,k\in \mathbb {N} \,$

Per esempio con k=3 e n=4 si ottiene:

$(10^{4}+1)^{3}=1000300030001\,$

Questa formula però non genera sempre numeri palindromi a partire da k>4. Infatti, se proviamo con k=5 ed n=2, otteniamo:

$(10^{2}+1)^{5}=10510100501\,$

che è evidentemente un numero non palindromo. Inoltre non tutti i numeri palindromi vengono generati da questa formula, in effetti i numeri di una sola cifra sono palindromi ma non vengono generati.

Generazione di numeri palindromi da numeri repunit

Un repunit è un numero scritto utilizzando esclusivamente la cifra 1. In base 10 è possibile generare un numero palindromo tramite moltiplicazione di due numeri repunit.

Se prendiamo due repunit tali che il prodotto del numero delle cifre del primo per il numero delle cifre del secondo è minore o uguale di 100 e li moltiplichiamo tra di loro otteniamo un numero palindromo.

Per esempio il numero 111 111 111 111 possiede 12 cifre, il numero 1 111 111 possiede 7 cifre, 7×12=84≤100 quindi:

$111\,111\,111\,111\times 1\,111\,111=123\,456\,777\,777\,654\,321$

che è un numero palindromo.

Voci correlate

• Primo palindromo
• Palindromo
• Repunit
• Numero primo di Mersenne
• Primo permutabile

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero palindromo

Collegamenti esterni

• Numeri palindromi fino a 100,000 da Ask Dr. Math
• World record e curiosità da Jason Doucette Math

• Palindromic Number da Wolfram

• Palindromic Number Conjecture da Wolfram

• Palindromic Prime Number da Wolfram