Potenziale vettore

In calcolo vettoriale il potenziale vettore è un campo vettoriale il cui rotore è un dato campo vettoriale. È l'analogo del potenziale scalare, che è un campo scalare il cui gradiente è un dato campo vettoriale.

Definizione

Dato un campo vettoriale $\mathbf {\alpha } :\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$, il potenziale vettore di $\mathbf {\alpha }$ è un campo $\mathbf {\beta } _{2}:\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ definito formalmente dalla relazione

$\mathbf {\alpha } =\nabla \times \mathbf {\beta } _{2}$

ovvero $\mathbf {\alpha }$ è il rotore di $\mathbf {\beta }$.

Poiché la divergenza di un rotore è nulla, α deve avere divergenza nulla, cioè:

$\nabla \cdot \mathbf {\alpha } =0$

Esplicitando le componenti del rotore di $\beta _{2}$ si ottiene il seguente sistema di 3 funzioni a 3 variabili con, quindi, 9 gradi di libertà:

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial \beta _{2z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \beta _{2y}}{\partial z}}=\alpha _{x}\\{\frac {\partial \beta _{2x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \beta _{2z}}{\partial x}}=\alpha _{y}\\{\frac {\partial \beta _{2y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \beta _{2x}}{\partial y}}=\alpha _{z}\end{matrix}}\right.$

dove $\alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z}\,\!$ sono le tre componenti del campo.

Un ulteriore metodo di calcolo del potenziale vettore si può ottenere applicando il teorema del rotore. Con un'opportuna scelta della superficie aperta, la cui traccia è [S], il flusso del campo è uguale al flusso del rotore

$\int _{S}\mathbf {\alpha } \cdot \ \operatorname {d} \mathbf {s} =\int _{[S]}(\nabla \times \mathbf {\beta } _{2})\cdot \operatorname {d} \mathbf {s} =\oint _{\delta S}\mathbf {\beta } _{2}\cdot \operatorname {d} \mathbf {r}$

dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che, per la definizione del potenziale, il flusso è uguale alla circuitazione di $\mathbf {\beta }$ lungo la frontiera.

Il potenziale vettore di un campo è definito a meno di un gradiente di una funzione poiché il rotore del gradiente è sempre nullo.
Sia $\mathbf {\beta } _{2}+\nabla \beta _{1}$, dove $\beta _{2}$ è un potenziale vettore di α e $\beta _{1}$ è derivabile due volte. Applicando la definizione:

$\nabla \times (\mathbf {\beta } _{2}+\nabla \beta _{1})=\nabla \times \mathbf {\beta } _{2}+\nabla \times (\nabla \beta _{1})=\mathbf {\alpha }$

Si evince come $\nabla \beta _{1}$ non influisca sulla definizione del potenziale. Quest'ultima trasformazione è un esempio di Invarianza di gauge.

Il potenziale magnetico

Il potenziale vettore del campo magnetico, indicato solitamente con A, è un campo vettoriale tale che il vettore campo magnetico B sia uguale al rotore di A:

$\mathbf {B} _{0}(x,y,z)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}(x,y,z)$

Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitraria $V$ (Trasformazione di Gauge). Infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:

$\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } V)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}$

Applicando il rotore all'equazione del potenziale vettore si ottiene, sapendo che la divergenza di un campo solenoidale è nulla:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}=(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} _{0})\cdot \mathbf {\nabla } -\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}=-\mathbf {\nabla } ^{2}\cdot \mathbf {A} _{0}$

e ricordando la Legge di Ampere si ha che:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}=-\mathbf {\nabla } ^{2}\cdot \mathbf {A} _{0}=\mu _{0}\cdot \mathbf {J}$.

Questo implica che le componenti di $\mathbf {A} _{0}$ verificano l'equazione di Poisson:

${\begin{cases}\nabla ^{2}A_{0x}=-\mu _{0}J_{x}\\\nabla ^{2}A_{0y}=-\mu _{0}J_{y}\\\nabla ^{2}A_{0z}=-\mu _{0}J_{z}\end{cases}}$

La soluzione dell'equazione esiste ed è unica:

$\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V'}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\Delta \mathbf {r} |}}dV'$

In particolare, per circuiti filiformi:

$\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{l'}{\frac {d\mathbf {l} '}{|\Delta \mathbf {r} |}}$.

Bibliografia

• Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.

Voci correlate

• Potenziali ritardati
• Campo magnetico
• Potenziale
• Potenziale scalare
• Campo vettoriale solenoidale