Potenziale vettore: differenze tra le versioni

Dato un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf F\alpha : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math>, il potenziale vettore di <math>\mathbf F\alpha</math> è un campo <math>\mathbf G\beta : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math> definito formalmente dalla relazione

:<math>\mathbf F\alpha = \nabla \times \mathbf G\beta</math>

ovvero <math>\mathbf F\alpha</math> è il [[rotore (fisica)|rotore]] di <math>\mathbf G\beta</math>.

Poiché la divergenza di un rotore è nulla, ''Fα'' deve avere [[divergenza]] nulla, cioè:

:<math>\nabla \cdot \mathbf F\alpha = 0</math>

Esplicitando le componenti del rotore di ''Gβ'' si ottiene il seguente sistema di 3 [[Funzione (matematica)|funzioni]] a 3 [[variabile|variabili]] con, quindi, 9 gradi di libertà:

\frac{\partial G_3\beta_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2\beta_2}{\partial z} = F_1 \\

\frac{\partial G_1\beta_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3\beta_3}{\partial x} = F_2 \\

\frac{\partial G_2\beta_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1\beta_1}{\partial y} = F_3

dove <math>F_1\alpha_1, F_2\alpha_2, F_3\alpha_3 \,\!</math> sono le tre componenti del campo.

:<math>\iint_{[S]}int_S \mathbf F\alpha \cdot \hat N\operatorname d \mathbf dss = \iint_int_{[S]} (\nabla \times \mathbf Gbeta) \cdot \hatoperatorname Nd \mathbf dss = \oint_{+C\delta S} \mathbf G\beta \cdot \hatoperatorname Td \mathbf dsr</math>

dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che, per la definizione del potenziale, il flusso è uguale alla [[circuitazione]] di <math>\mathbf G\beta</math> lungo la [[frontiera di ''[S(topologia)|frontiera]]''.

Sia <math>\mathbf G\beta_1 + \nabla \Phibeta_2</math>, dove ''G''<math>\beta_1</math> è un potenziale vettore di ''Fα'' e <math>\Phibeta_2</math> è derivabile due volte. Applicando la definizione:

:<math>\nabla \times (\mathbf G\beta_1 + \nabla \Phibeta_2) = \nabla \times \mathbf G\beta_1 + \nabla \times (\nabla \Phibeta_2) = F\mathbf \alpha</math>