Teorema di Coulomb

In fisica, il teorema di Coulomb è una relazione che permette di determinare l'intensità del campo elettrico in prossimità della superficie di un corpo conduttore a partire dalla legge con cui sono distribuite le cariche.

Il teorema

Dato un corpo conduttore la cui superficie sia caratterizzata da una densità superficiale di carica σ, il campo elettrico prodotto in prossimità della superficie è:

$\mathbf {E} =-{\frac {{\partial }V}{{\partial }n}}={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}\mathbf {n}$;

dove ε₀ è la costante dielettrica del vuoto ed n è la normale uscente alla superficie del conduttore.

Dimostrazione

Dimostrazione del teorema di Coulomb

Si consideri una sfera tangente alla superficie del conduttore; si prenda quindi un punto con una prossimità alla superficie stessa dipendente dal rapporto tra il raggio di curvatura e la distanza dal centro.

La direzione del campo elettrico è strettamente radiale in quanto la presenza di un campo elettrico tangenziale muoverebbe le cariche, condizione che invaliderebbe l'ipotesi. Questa deduzione la si ricava anche dalla relazione tra il campo e il suo potenziale; essendo in un conduttore la differenza di potenziale tra due punti sempre nulla, sarà nulla anche la componente tangenziale di E in quanto ${\vec {E}}=-\nabla V$ (la variazione del potenziale è nulla).

Conoscendo le caratteristiche vettoriali si può applicare il teorema di Gauss. Si consideri un cilindro con base ds infinitesima parallela al conduttore e di spessore dh e si calcoli il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie. Dalla natura vettoriale del campo si nota che l'unico contributo al flusso è quello attraverso la base ds. Pertanto, considerando $\sigma ds\,\!$ il valore della carica distribuita sulla porzione di superficie ds,

$\Phi ={\vec {E}}\cdot ds={\frac {\sigma ds}{\varepsilon _{0}}}\Rightarrow {\vec {E}}={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}$.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Conduttore elettrico
• Densità di carica