Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

In matematica, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer riguarda un particolare tipo di curve, le curve ellittiche nei numeri razionali. Questa congettura si basa sul fatto che le equazioni abbiano finite o infinite soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile ma trattava delle equazioni diofantee, e si è dimostrato che non si è in grado neanche di decidere se esiste o no una soluzione.

La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è collegata all'ipotesi di Riemann, e una soluzione a questo problema contribuirebbe a migliorare la comprensione di aspetti ancora poco chiari sui numeri primi. Per questo motivo non si sa con certezza se una sua soluzione possa avere evidenti effetti positivi in senso pratico, e si suppone possa rivelarsi importante solo per i matematici.

Contesto

Tra i problemi presentati da Hilbert, il decimo riguardava le equazione diofantee, ovvero quelle equazioni in più incognite di cui si cercano le soluzioni intere. Nel 1970 Yuri Matiyasevich dimostrò che non esiste un metodo generale per risolverle. Tuttavia quando le soluzioni sono i punti di una varietà abeliana, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma che la dimensione del gruppo dei punti razionali della curva è legata al comportamento di una certa funzione $z(s)$, per valori di s vicini a 1.

Introduzione matematica

Nel 1922 Louis Mordell ha dimostrato il teorema di Mordell, che afferma che il gruppo di punti razionali su una curva ellittica ha una base finita. Questo significa che per ogni curva ellittica vi è un sottogruppo finito di punti razionali sulla curva, da cui tutti i successivi punti razionali possono essere generati. Se il numero di punti razionali su una curva è infinito, allora un certo punto di una base finita deve avere ordine infinito.

Il numero di punti con base indipendente è chiamato grado della curva, ed è un'importante proprietà di invarianza di una curva ellittica. Se il rango di una curva ellittica è 0, allora la curva ha solo un numero finito di punti razionali. D'altro canto, se il grado della curva è maggiore di 0, allora la curva ha un numero infinito di punti razionali. Sebbene il teorema di Mordell mostra che il grado di una curva ellittica è sempre finito, non fornisce un metodo efficace per calcolare la posizione di ogni curva. Il rango di alcune curve ellittiche può essere calcolato utilizzando metodi numerici, ma (allo stato attuale delle conoscenze), questi non possono essere generalizzati per gestire tutte le curve.

Una funzione L $L(E,s)$ può essere definita per una curva ellittica E con la costruzione di un prodotto di Eulero dal numero di punti sulla curva modulo ogni numero primo p. Questa funzione L è analoga alla funzione zeta di Riemann e alle serie L di Dirichlet che è definita per una forma quadratica binaria. Si tratta di un caso particolare di una funzione L di Hasse-Weil.

La naturale definizione di L (E, s) converge solo per valori di s nel piano complesso con $Re(s)>3/2$. Helmut Hasse ha congetturato che $L(E,s)$ potrebbe essere estesa per prolungamento analitico in tutto il piano complesso. Questa ipotesi è stata dimostrata da Max Deuring per curve ellittiche con moltiplicazione complessa. È stato successivamente dimostrato che è vero per tutte le curve ellittiche, come una conseguenza del teorema di modularità.

Trovare punti razionali su una generica curva ellittica è un problema difficile. Trovare i punti su una curva ellittica modulo p numero primo invece è concettualmente semplice, in quanto vi sono solo un numero finito di possibilità da controllare. Tuttavia, per grandi numeri primi è computazionalmente faticoso.

Stato attuale

La Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è stata dimostrata solo in alcuni casi particolari:

1. Nel 1976 John Coates e Andrew Wiles hanno dimostrato che, se E è una curva su un campo numerico F con la moltiplicazione complessa da un campo immaginario quadratrico di classe 1, F=K o Q, e L(E,1) è diverso da 0, allora E ha solo un numero finito di punti razionali. Questa è stata estesa al caso in cui F sia una qualche estensione abeliana finita di K da Nicole Arthaud-Kuhman, che ha condiviso l'ufficio con Wiles, quando erano entrambi studenti di Coates a Stanford.
2. Nel 1983 Benedict Gross e Don Zagier hanno dimostrato che se una curva ellittica modulare ha un primo-ordine zero in s = 1 allora ha un punto razionale di ordine infinito; vedere il teorema di Gross-Zagier.
3. Nel 1990 Victor Kolyvagin ha dimostrato che una curva ellittica modulare E per cui L(E, 1) non è pari a zero ha grado 0, e una curva ellittica modulare E tale che L(E, 1) ha un primo-ordine zero in s = 1 ha rango 1.
4. Nel 1991 Karl Rubin ha mostrato che per le curve ellittiche definite su un campo quadratico immaginario K con moltiplicazione complessa per K, se la serie L della curva ellittica non era zero a s = 1, allora la p-esima parte del gruppo di Tate-Shafarevich aveva l'ordine previsto dalla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, per tutti i primi p > 7.
5. Nel 1999, Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond e Richard Taylor hanno dimostrato che tutte le curve ellittiche definite su numeri razionali sono modulari (teorema di Taniyama-Shimura), che si estende ai risultati 2 e 3 per tutte le curve ellittiche sui razionali.

Premio Clay Mathematics Institute

La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è uno dei sette problemi del millennio selezionati dal Clay Mathematics Institute, che offre un premio di 1 milione di dollari per la prima prova di tutta la congettura.

Collegamenti esterni

• (EN) Birch and Swinnerton -Dyer Conjecture sul sito Claymath.org
• (EN) Home page del premio Clay