Parte interna

In matematica, e più precisamente in topologia, la parte interna di un insieme S consiste in tutti i punti che sono intuitivamente "non sui bordi di S". Un punto della parte interna di S è un punto interno di S. La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.

Definizioni

Punto interno

Se S è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora x è un punto interno di S se esiste una palla aperta centrata in x e contenuta in S.

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme S di uno spazio metrico X. Espressa per intero, se X è uno spazio metrico con metrica d, allora x è un punto interno di S se esiste r > 0 tale che y sia in S ogni volta che la distanza è d(x, y) < r.

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la "palla aperta" con "intorno". Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Allora x è un punto interno di S se esiste un intorno di x contenuto in S. Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

Parte interna

La parte interna di un sottoinsieme S di uno spazio euclideo o di un più generale spazio topologico è l'insieme di tutti i punti interni di S. L'interno di S è indicato con int(S), Int(S), o S^o. In altre parole:

${\rm {int}}(S)=\{x\in S\ |\ \exists U(x):U(x)\subset S\}$

dove si indica con $U(x)$ un intorno di $x$.

L'interno di un insieme ha le seguenti proprietà:

• int(S) è un sottoinsieme aperto di S.
• int(S) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in S.
• int(S) è il più grande insieme aperto contenuto in S.
• Un insieme S è aperto se e solo se S = int(S).
• int(int(S)) = int(S). (idempotenza)
• Se S è un sottoinsieme di T, allora int(S) è un sottoinsieme di int(T).
• Se A è un insieme aperto, allora A è un sottoinsieme di S se e solo se A è un sottoinsieme di int(S).

Talvolta la seconda o la terza proprietà sono usate come definizione della parte interna.

Nota che queste proprietà sono soddisfatte anche se "interno", "sottoinsieme", "unione", contenuto in", "più grande" e "aperto" sono sostituiti da "chiusura", "superinsieme", "intersezione", "che contiene", "più piccolo" e "chiuso". Per maggiori informazioni sull'argomento, vedi operatore di interno più in basso.

Esempi

• In ogni spazio la parte interna dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
• In ogni spazio X, int(X) = X.
• Se X è lo spazio euclideo R dei numeri reali, allora int([0, 1]) = (0, 1).
• Se X è lo spazio euclideo R, allora la parte interna dell'insieme Q dei numeri razionali è vuoto.
• Se $X$ è il piano complesso $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$, allora $\operatorname {int} ({z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1})=\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}.$
• In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l'insieme vuoto.

Sull'insieme dei numeri reali è possibile porre un'altra topologia diversa da quella standard.

• Se X = R, dove R ha la topologia del limite inferiore, allora int([0, 1]) = [0, 1).
• Se si considera su R la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora int([0, 1]) = [0, 1].
• Se si considera su R la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e R stesso, allora int([0, 1]) è l'insieme vuoto.

Questi esempi mostrano che l'interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:

• In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
• In ogni spazio banale X, dal momento che gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e X stesso, abbiamo int(X) = X e per ogni sottoinsieme proprio A di X, int(A) è l'insieme vuoto.

Operatore parte interna

L'operatore parte interna ^o è il duale dell'operatore di chiusura ⁻, nel senso che

S^o = X \ (X \ S)⁻,

e anche

S⁻ = X \ (X \ S)^o

dove X indica lo spazio topologico contenente S, e \ indica il complemento di un insieme.

Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.