Matrice trasposta: differenze tra le versioni

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Versione delle 12:53, 24 ott 2010

In matematica, l'operatore di trasposizione, che si denota con un apice o con una T ad esponente, associa ad una matrice la sua relativa trasposta, ovvero la matrice il cui generico elemento con indici (i,j) è l'elemento con indici (j,i) della matrice originaria. In simboli:

In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

Esempio

Proprietà

Se intendiamo la trasposta come una matrice di trasformazione, notiamo che: cioè otteniamo una matrice con le dimensioni invertite.

Valgono le seguenti proprietà:

  1. La trasposta della trasposta è la matrice stessa.
  2. La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte.
  3. L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione.
    Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
  4. Se c è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato.
  5. [solo per matrici quadrate] Il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale.
  6. Il prodotto scalare tra due vettori colonna a e b può essere calcolato come
    che può essere scritto usando la notazione di Einstein come ai bi.
  7. Se A ha solamente elementi reali, allora ATA è una matrice semidefinita positiva.
  8. La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale.
  9. Se A è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Osservazioni

  • La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e quindi anche su vettori. In particolare un vettore colonna trasposto è un vettore riga e viceversa.
  • Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.
  • Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1 ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici A e B di dimensioni opportune si abbia che
l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari k ed l, vale
Più in generale, dati N scalari ki ed N matrici di pari dimensioni Ai, vale
dove Σ indica una sommatoria.
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