Sufficientemente grande

In matematica, l'espressione "sufficientemente grande" è usata in contesti come:

$P$ è vera per $x$ sufficientemente grande

dove $P$ indica una generica proprietà, o affermazione ben definita, che per esteso si esprime:

esiste $a\in \mathbb {R}$ tale che $P$ è vera per ogni $x\geq a$.

A volte si dice anche che $P$ è definitivamente vera. Questo non significa necessariamente che siano noti dei valori particolari di $a$ che soddisfino tale condizione, ma solo che un tale $a$ esiste.

La frase "sufficientemente grande" non deve essere confusa con le espressioni "arbitrariamente grande" o "infinitamente grande"; infatti

$P$ è vera per $x$ arbitrariamente grande

vuol dire:

per ogni $a\in \mathbb {R}$ esiste $x\geq a$ tale che $P$ è vera per $x$.

Per fare un esempio:

• la frase "$\sin x\geq 0$ per $x$ sufficientemente grande" è falsa, poiché vorrebbe dire che tutti i valori dopo $a$ hanno seno positivo, mentre il seno oscilla infinite volte tra -1 e 1.
• la frase "$\sin x\geq 0$ per $x$ arbitrariamente grande" è vera, poiché per ogni $a$ reale esisteranno sempre punti dopo $a$ che avranno seno positivo, di nuovo per la periodicità del seno.

Il concetto di "sufficientemente grande" è talvolta argomento di umorismo matematico, come ad esempio nella battuta "π = 3, per valori sufficientemente grandi di 3".