Biforcazione transcritica

In Matematica una biforcazione transcritica è una biforcazione locale nella quale, al variare del parametro, si ha un cambiamento di stabilità dei punti d'equilibrio.

Sia prima che dopo la biforcazione vi sono, infatti, un punto d'equilibrio stabile ed uno instabile. Ad un certo valore critico i due punti coincidono e si scambiano la stabilità. In tal modo il punto instabile diventa stabile e vice versa.

L'esempio classico di biforcazione transcritica è dato dall'equazione differenziale

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx-x^{2}$

L'equazione è simile a quella dell'equazione logistica, solo che in questo caso sia $x$ che $r$ possono assumere valori qualunque, sia positivi che negativi (mentre nella logistica non avrebbe senso considerare popolazioni negative).

Studiando il campo vettoriale al variare di $r$ si nota come i due punti di equilibrio restino sempre $x=0$ ed $x=r$, sebbene le stabilità cambino a seconda del parametro.

Campo vettoriale della biforcazione transcritica

• Se $r<0$ vi è un punto di equilibrio instabile in $x=-r$ ed uno stabile in $x=0$.
• Se $r=0$ i due punti di equilibrio collidono nel solo $x=0$ instabile a sinistra e stabile a destra. È questo il valore in cui si ha lo scambio di stabilità tra i due punti.
• Se $r>0$ vi è un punto di equilibrio instabile in $x=0$ ed uno stabile in $x=r$.

Diagramma di biforcazione transcritica. Le linee intere rappresentano i punti di equilibrio stabili, mentre quelle spezzate i punti di equilibrio instabili.

Dal diagramma di biforcazione si vede la presenza di due rami: uno stabile coincidente con l'asse delle ascisse per $r<0$ e con la bisettrice principale per $r>0$ e l'altro instabile speculare rispetto all'origine.

Voci correlate

• Diagramma di biforcazione
• Teoria delle biforcazioni

Bibliografia

• Strogatz S.H. (1994), Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Books, Cambridge)