Relazione simmetrica: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], una [[relazione binaria]] ''R'' in un insieme ''X'' è '''simmetrica''' [[se e solo se]], presi due elementi qualsiasi ''a'' e ''b'', vale che se ''a'' è in relazione con ''b'' allora anche ''b'' è in relazione con ''a''. In simboli: |
In [[matematica]], una [[relazione binaria]] ''R'' in un insieme ''X'' è '''simmetrica''' [[se e solo se]], presi due elementi qualsiasi ''a'' e ''b'', vale che se ''a'' è in relazione con ''b'' allora anche ''b'' è in relazione con ''a''. In simboli: |
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:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \Rightarrow \; b R a</math> |
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Ad esempio, "è sposato/a con" è una relazione simmetrica, mentre "è figlio di" non lo è. |
Ad esempio, "è sposato/a con" è una relazione simmetrica, mentre "è figlio di" non lo è. |
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Una relazione ''R'' in ''X'' è '''asimmetrica''' se e solo se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' allora ''b'' non è in relazione con ''a''. In simboli: |
Una relazione ''R'' in ''X'' è '''asimmetrica''' se e solo se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' allora ''b'' non è in relazione con ''a''. In simboli: |
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:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \; \Rightarrow \lnot(b R a)</math> |
:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \; \Rightarrow \; \lnot(b R a)</math> |
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Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è asimmetrica; l'asimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né asimmetriche. |
Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è asimmetrica; l'asimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né asimmetriche. |
Versione delle 01:51, 12 dic 2009
In matematica, una relazione binaria R in un insieme X è simmetrica se e solo se, presi due elementi qualsiasi a e b, vale che se a è in relazione con b allora anche b è in relazione con a. In simboli:
Ad esempio, "è sposato/a con" è una relazione simmetrica, mentre "è figlio di" non lo è.
Una relazione di simmetria che è anche transitiva e riflessiva è una relazione di equivalenza.
Relazioni asimmetriche
Una relazione R in X è asimmetrica se e solo se, presi comunque due elementi a e b in X, se a è in relazione con b allora b non è in relazione con a. In simboli:
Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è asimmetrica; l'asimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né asimmetriche.
Relazioni antisimmetriche
Una relazione R in X è detta invece antisimmetrica se, presi comunque due elementi a e b in X, se a è in relazione con b e b è in relazione con a, allora a = b. In simboli:
Un esempio di relazione antisimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga e è che a e b siano uguali. Anche la disuguaglianza stretta è antisimmetrica; essendo infatti a < b e b < a impossibile, l'antisimmetria in questa relazione è una verità vuota.
Una relazione antisimmetrica che è anche transitiva e riflessiva è una relazione d'ordine debole (detta anche relazione d'ordine parziale, in inglese poset).
Dire che una relazione è antisimmetrica e irriflessiva è equivalente a dire che è asimmetrica.
Si noti che l'antisimmetria non è l'opposto della simmetria. Ci sono infatti relazioni che sono simmetriche e non antisimmetriche (come la congruenza modulo n), relazioni antisimmetriche e non simmetriche ("è minore o uguale a"), ma anche relazioni sia simmetriche che antisimmetriche (come l'uguaglianza) o né simmetriche né antisimmetriche (la divisibilità fra interi).