Operatore differenziale

In matematica un operatore differenziale è un operatore lineare definito come una funzione dell'operatore differenziazione.

Notazioni

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:

${d \over dx}$

$D,\,$ quando la variabile di differenziazione è chiara, e

$D_{x},\,$ quando la variabile è dichiarata esplicitamente.

Per le derivate successive

$d^{n} \over dx^{n}$

$D^{n}\,$

$D_{x}^{n}.\,$

La notazione D è accreditata a Oliver Heaviside, che considerava gli operatori differenziali della forma

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

nello studio delle equazioni differenziali.

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il laplaciano, definito come

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

Un altro operatore differenziale è l'operatore Θ, definito come

$\Theta =z{d \over dz}.$

Operatore aggiunto

Dato un operatore lineare differenziale:

$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$

l' aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore $T^{*}$ tale che

$\langle u,Tv\rangle =\langle T^{*}u,v\rangle$

dove la notazione $\langle ,\rangle$ indica il prodotto scalare o prodotto interno. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare.

Nello spazio funzionale delle funzioni a quadrato sommabile, il prodotto scalare è definito da:

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx.$

Se a questo aggiungiamo la condizione che f e g tendono a zero per $x\to a$ e $x\to b$, è allora possibile definire l'aggiunto come:

$T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a_{k}(x)u]$.

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di operatore aggiunto formale.

L'operatore di Sturm-Liouville è un esempio ben conosciuto di operatore formale autoaggiunto. L'operatore differenziale del secondo ordine L può essere scritto nella forma:

$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u\;\!$

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

${\begin{matrix}L^{*}u&=&(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&=&-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&=&-(pu)''+(p'u)'+qu\\&=&-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&=&-p'u'-pu''+qu\\&=&-(pu')'+qu&=&Lu\\\end{matrix}}$

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella Teoria di Sturm-Liouville dove vengono esaminate le autofunzioni di questo operatore (analoghe agli autovettori)

Proprietà degli operatori differenziali

Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle derivate, che sono lineari

$D(f+g)=(Df)+(Dg)$

$D(af)=a(Df)$

dove f e g sono funzioni e a è una costante.

Ogni polinomiale in D con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola

(D₁oD₂)(f) = D₁ [D₂(f)].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore D₂ deve essere differenziabile tante volte quanto l'operatore D₁ richiede. Per ottenere un anello di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è commutativo: un operatore gD non è in generale uguale a Dg. Per esempio la relazione semplice in meccanica quantistica

Dx − xD = 1.

Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in D con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

Più variabili

La stessa costruzione può essere usata con le derivate parziali.

Voci correlate

• Derivata parziale
• Operatore differenziale lineare