Disco di Airy

File:Airy-pattern.png

Un'immagine generata al computer di un Disco di Airy. Le intensità della scala di grigio sono state regolate in modo da evidenziare la luminosità dei dischi esterni del modello.

A causa della sua natura ondulatoria, la luce che attraversa un' apertura sottile viene diffratta e forma una struttura di regioni luminose e scure su di uno schermo posto ad una certa distanza dall'apertura (vedi interferenza (fisica)).

Il modello di diffrazione che risulta da un' apertura circolare uniformemente illuminata ha una regione luminosa nel centro, conosciuta come Disco di Airy che, assieme ad una serie di anelli concentrici, viene chiamata modello di Airy (da George Airy). Il diametro di questo disco è funzione della lunghezza d'onda della luce illuminante e della dimensione dell' apertura circolare.

L'applicazione più importante di questo concetto avviene nelle macchine fotografiche o nei telescopi. A causa della diffrazione, il punto più piccolo nel quale si può mettere a fuoco un raggio di luce usando una lente è delle dimensioni del disco di Airy. Anche se si riuscisse a fare una lente perfetta, c'è ancora un limite alla risoluzione di un'immagine creata da questa lente. Un sistema ottico nel quale la risoluzione non sia più limitata da imperfezioni nelle lenti, ma solo dalla diffrazione viene detto limitato dalla diffrazione.

Il disco di Airy è importante nella fisica, nell'ottica e nell' astronomia.

Dimensione del disco di Airy

Lontano dall' apertura, l'angolo al quale il primo minimo avviene, misurato dalla direzione da cui proviene la luce, è dato da:

$\sin \theta =1.22{\frac {\lambda }{d}}$

dove λ è la lunghezza d'onda della luce e d è il diametro dell'apertura. Il Criterio di Rayleigh per riuscire a risolvere due oggetti, dice che il centro del disco di Airy per il primo oggetto deve essere nel primo minimo del disco di Airy per il secondo. Questo significa che la risoluzione angolare di un sistema limitato dalla diffrazione è data dalla stessa formula.

Esempi

SLR camera

La separazione angolare più piccola che due oggetti possono avere prima che si sfuochino in un'immagine indistinta, è data da:

$\sin \theta =1.22{\frac {\lambda }{d}}$

fino a che θ è piccolo possiamo approssimarla come:

${\frac {x}{f}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}$

dove x è la separazione delle immagini dei due oggetti nella pellicola ed f è la distanza dalle lenti alla pellicola. Se prendiamo la distanza dalle lenti alla pellicola approssimativamente uguale alla lunghezza focale delle lenti troviamo:

$x=1.22{\frac {\lambda f}{d}}$

ma ${\frac {f}{d}}$ è esattamente il rapporto focale (numero che identifica il rapporto tra le dimensioni dell'otturatore di una macchina fotografica e la distanza focale) di una lente, il quale per la configurazione tipica di una macchina fotografica in un giorno assolato è circa 16. Per la luce blu all'estremo del visibile, la lunghezza d'onda λ è circa 450 nanometri. Troviamo che x è circa 0,01 mm. Una conseguenza di ciò per una fotocamera digitale è che, anche facendo pixel del sensore ottico più piccoli di queste dimensioni, non si avrebbero incrementi nella risoluzione dell'immagine.

L'occhio umano

Il rapporto focale più piccolo per l'occhio umano è di circa 2,1 e la risoluzione risultante è circa 1 μm. Questa è all'incirca anche la distanza tra le cellule sensoriali ottiche, i 'pixel' dell'occhio umano.

Dettagli Matematici

L'intensità nel modello della diffrazione di Fraunhofer per un'apertura circolare è data da:

$I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2}$

dove $J_{1}$ è una funzione di Bessel del primo tipo di primo ordine, $a$ è il raggio dell'apertura, $I_{0}$ è l'intensità nel centro del modello di diffrazione, e $k={2\pi }/{\lambda }$ è il numero di onda. Qui $\theta$ è l'angolo di osservazione, per esempio l'angolo tra l'asse dell'apertura circolare e la linea tra il centro dell'apertura e il punto di osservazione. Nota che il limite per $\theta \rightarrow 0$ è $I(0)=I_{0}$.

Gli zeri di $J_{1}(x)$ sono in $x=ka\sin \theta \approx 0,3.832,7.016,10.173,13.324,...$, quindi il primo anello scuro nel modello della diffrazione avviene dove

$\sin \theta ={\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}$.

Il raggio $q_{1}$ del primo anello scuro su di uno schermo dipende da $\theta$ per $q_{1}=R\sin \theta$, dove R è la distanza dalla apertura.

L'intensità $I_{0}$ nel centro del modello della diffrazione dipende dalla potenza totale $P_{0}$ incidente sull'apertura in questo modo:

$I_{0}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}$

Dove A è l'area dell'apertura ($A=\pi a^{2}$) ed R è la distanza dall'apertura. L'espressione di $I(\theta )$ sopra si può integrare per dare la potenza totale contenuta del modello della diffrazione dentro una circonferenza di dimensione data:

$P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]$

Dove $J_{0}$ e $J_{1}$ sono funzioni di Bessel. Quindi le percentuali della potenza totale contenute all'interno del primo, secondo e terzo anello scuro (dove $J_{1}(ka\sin \theta )=0$) sono 83.8%, 91.0% e 93.8% rispettivamente.

Voci correlate

• George Biddell Airy
• Diffrazione di Fraunhofer
• Astronomia amatoriale

Collegamenti esterni

• Diffraction Limited Photography capire come i dischi di Airy, l'apertura della lente e le dimensioni dei pixel limitano la risoluzione assoluta di ogni fotocamera.
• Diffraction from a circular aperture Spiegazioni matematiche su come derivare la formula sopra.