Operatore momento angolare totale

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Il momento angolare totale in meccanica quantistica genera le rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale ${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}$ perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di momenti angolari, essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.

Si può dimostrare che il momento angolare totale ${\hat {\mathbf {J} }}$ è il generatore delle rotazioni nello spazio, ma questo argomento è proposto per il momento angolare orbitale a cui si rimanda.

Formalmente, poi, il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con ${\hat {\mathbf {J} }}$ possiamo indicare sia ${\hat {\mathbf {L} }}$, sia ${\hat {\mathbf {S} }}$ e anche una composizione di momenti ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$ o ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}_{1}+{\hat {\mathbf {L} }}_{2}$ o ancora ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {S} }}_{1}+{\hat {\mathbf {S} }}_{2}$.

Le proprietà del momento angolare totale

Senza entrare nel dettaglio delle rotazioni nello spazio, diciamo solo che l'operatore di rotazione è dato da:

$e^{{\hat {\mathbf {I} }}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {J} }}\alpha }$

dove $\alpha$ è l'angolo di rotazione e ${\hat {\mathbf {I} }}$ è l'operatore identità. Le proprietà di questo operatore sono analoghe a quelle viste per il momento angolare orbitale.

Vediamo le proprietà di commutazione analogamente a quanto fatto per l'operatore momento angolare orbitale:

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i\hbar {\hat {J}}_{z}$

$[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i\hbar {\hat {J}}_{x}$

$[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i\hbar {\hat {J}}_{y}$

dove ${\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}$ sono ovviamente le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani, in forma compatta:

$[{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}$

dove abbiamo usato il tensore di Levi-Civita. Costruiamo l'operatore ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$, cioè l'operatore:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}$

Vediamo come commuta con le componenti del momento angolare totale:

$[{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}]=[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}^{2}]+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{y}^{2}]+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{z}^{2}]=$

$\,\,\,\,\,={\hat {J}}_{x}[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]{\hat {J}}_{x}+{\hat {J}}_{y}[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{y}]+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{y}]{\hat {J}}_{y}=i\hbar {\hat {J}}_{x}{\hat {J}}_{y}+i\hbar {\hat {J}}_{y}{\hat {J}}_{x}-i\hbar {\hat {J}}_{y}{\hat {J}}_{x}-i\hbar {\hat {J}}_{x}{\hat {J}}_{y}=0$

e analogamente:

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0$

$[{\hat {J}}_{y},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0$

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$.

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso trascurando i calcoli espliciti che sono simili a quelli del momento angolare orbitale:

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {x}}]=0$

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}$

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}$

Allo stesso modo ${\hat {J}}_{y}$ ed ${\hat {J}}_{z}$, in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

$[{\hat {J}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}$

dove ${\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$ e $\epsilon _{ijk}$ è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a +1 per permutazioni pari degli indici, -1 per permutazioni dispari e 0 se i=j.

Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente la stessa cosa:

$[{\hat {J}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}$

Gli autovalori del momento angolare totale

Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per esempio ${\hat {J}}_{z}$) che commuta con ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$, così lo stato che è autostato di entrambi gli operatori lo chiamiamo $|j,j_{z}\rangle$. Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori a, b (a volte più propriamente indicati con $j$, $j_{z}$, oppure con $j$, $m_{j}$) simultanei di questi operatori:

$\left\{{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =a|j,m_{j}\rangle \\{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =b|j,m_{j}\rangle \end{matrix}}\right.$

Per fare questo introduciamo due operatori, detti operatori di scala:

${\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{x}\pm i{\hat {J}}_{y}$

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

$[{\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}]=2\hbar {\hat {J}}_{z}$

$[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }$

$[{\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{\pm }]=0$

L'operatore ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ può essere espresso in termini di ${\hat {J}}_{z}$ e operatori di scala ${\hat {J}}_{\pm }$, infatti:

${\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}={\hat {J}}_{+}^{\dagger }{\hat {J}}_{+}={\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}({\hat {J}}_{z}+\hbar )$

${\hat {J}}_{+}{\hat {J}}_{-}={\hat {J}}_{-}^{\dagger }{\hat {J}}_{-}={\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}({\hat {J}}_{z}-\hbar )$

dunque:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{+}{\hat {J}}_{-}+{\hat {J}}_{z}^{2}-{\hat {J}}_{z}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}$

Il significato di ${\hat {J}}_{\pm }$ è analogo a quello visto nel momento angolare orbitale. Vediamo come ${\hat {J}}_{z}$ agisce sullo stato ${\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle$:

${\hat {J}}_{z}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\left([{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]+{\hat {J}}_{\pm }{\hat {J}}_{z}\right)|j,m_{j}\rangle =({\hat {J}}_{+}{\hat {J}}_{z}+\hbar {\hat {J}}_{+})|j,m_{j}\rangle =(b\pm \hbar )\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)$

cioè applicando ${\hat {J}}_{+}$ l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$ cioè b aumenta di $\hbar$, viceversa applicando ${\hat {J}}_{-}$, l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$ viene diminuito di $\hbar$, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)={\hat {J}}_{\pm }{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =a{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle$

cioè l'applicazione degli operatori ${\hat {J}}_{\pm }$ cambia l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$, ma non di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$.

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ e ${\hat {J}}_{z}$ è:

$\langle j,m_{j}|\left({\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right)|j,m_{j}\rangle =\left\langle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right\rangle \geq 0$

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

$-a\leq b\leq a$

cioè gli autovalori di della proiezione del momento angolare totale b non possono superare quelli di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$, a: fisicamente ciò significa che b assume il suo valore massimo quando ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ coincide con la direzione dell'asse z, cioè la sua proiezione ${\hat {J}}_{z}$ coincide con ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$, in tal caso $a=b$. Quindi l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$. Chiamiamo $b_{min}$ il valore minimo e $b_{max}$ il valore massimo che può assumere ${\hat {J}}_{z}$. Applicando successivamente gli operatori di scala ${\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}$, si capisce che deve essere:

${\hat {J}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0$

${\hat {J}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0$

Ora applichiamo

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z})|a,b_{max}\rangle =b_{max}^{2}\hbar +b_{max}\hbar |a,b_{max}\rangle$

cioè:

$a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)$

Quindi l'autovalore di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ è $\hbar ^{2}a(a+1)$, dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

$-a\leq b\leq a$

e anche qui b deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di b sono distanti $\hbar$ uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di $\hbar$), dove se k è intero, fissato a, vi sono (2k+1) valori di b, cioè $b=\{-a,-a+1,\dots ,a-1,a\}$ per cui se a è intero lo è anche b e se a è semintero, lo è anche b. Si può dimostrare che gli autovalori a sono interi e quindi anche b sono interi: con questa scelta otteniamo infine per gli autovalori di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m_{j}\rangle$

e per gli autovalori di ${\hat {J}}_{z}$

${\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar |j,m_{j}\rangle$

dove $j=0,1,\dots$ è il numero quantico del momento angolare totale ed $m_{j}=\{-j,-j+1,\dots ,j-1,j\}$ è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

Elementi di matrice

Vediamo come sono fatti esplicitamente le matrici dei momenti angolari. Assumiamo che i momenti angolari siano calcolati sugli autostati $|j,j_{m}\rangle$ già normalizzati, allora in questa base di autostati sia ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ sia ${\hat {J}}_{z}$ sono diagonali:

$\langle j',m'_{j}|{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}\delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}$

$\langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}$

Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:

${\hat {J}}_{+}|j,m_{j}\rangle =c_{+}|j,m+1\rangle$

dove $c_{+}$ è un coefficiente. Utilizzando l'espressione:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}$

ricaviamo l'espressione di ${\hat {J}}_{+}$ e di ${\hat {J}}_{-}$ e calcoliamo:

${\hat {J}}_{+}^{\dagger }{\hat {J}}_{+}={\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}-\hbar {\hat {J}}_{z}$

${\hat {J}}_{-}^{\dagger }{\hat {J}}_{-}={\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {J}}_{z}$

e quindi per ${\hat {J}}_{+}$:

$|c_{+}|^{2}=\langle {\hat {J}}_{+}^{\dagger }{\hat {J}}_{+}\rangle =\hbar ^{2}[j(j+1)-m_{j}^{2}-m_{j}]$

In definitiva:

${\hat {J}}_{+}|j,m_{j}\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m_{j})(j+m+1)}}|j,m_{j}+1\rangle$

${\hat {J}}_{-}|j,m_{j}\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m_{j})(j-m+1)}}|j,m_{j}-1\rangle$

gli elementi di matrice sono:

$\langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle ={\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m+1)}}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}$

Per esempio per $j=1$ possiamo esplicitare:

${\hat {J}}_{+}=\hbar {\begin{pmatrix}0&{\sqrt {2}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\0&0&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{-}=\hbar {\begin{pmatrix}0&0&0\\{\sqrt {2}}&0&0\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

che come si vede ${\hat {L}}_{z}$ è diagonale ovviamente nella base $|j,m_{j}\rangle$, mentre:

${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$

non lo sono.

Per $j={\frac {1}{2}}$ le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:

${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Per $j={\frac {3}{2}}$ le matrici prendono la forma:

${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$

Bibliografia

• J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna

• L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica

Voci correlate

• Numero quantico azimutale
• Numero quantico
• Spin
• Momento angolare orbitale
• Autofunzioni del momento angolare
• Composizione di momenti angolari
• Coefficienti di Clebsh-Gordan