Geometria differenziale delle curve

In matematica, la geometria differenziale delle curve usa il calcolo infinitesimale per studiare le curve nel piano, nello spazio, e più generalmente in uno spazio euclideo.

Definizioni

Definizioni di base

Una curva è una funzione continua

$f:I\to \mathbb {R} ^{n}$

dove $I$ è un intervallo dei numeri reali, come ad esempio $[0,1]$; la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera t e per la funzione si usa spesso la notazione f(t). In questa voce, supporremmo che $f$ sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima $f'(t)$ sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo I.

Per supporto di $f$ si intende la immagine di tale funzione. Se $f$ è iniettiva, la curva si dice semplice.

Lunghezza e parametrizzazione

Una riparametrizzazione di $f$ è un'altra curva $g$ tale che

$g=f\circ p$

dove $p:J\rightarrow I$ è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e J è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con I. In questo caso le curve $f$ e $g$, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La lunghezza di una curva $f$ definita su un intervallo chiuso $I=[a,b]$ è fornita da

$L=\int _{a}^{b}\vert f'(t)\vert dt$

La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma $[0,T]$ e pensiamo che la variabile t esprima il tempo per un corpo puntiforme P che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a T; abbiamo quindi un modello cinematico della curva. Si puo` quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante t è

$s(t)=\int _{a}^{t}\vert f'(u)\vert du.$

La funzione sempre crescente s(t) stabilisce una biiezione tra gli intervalli $[0,T]$ e $[0,L]$ e porta ad una riparametrizzazione della curva: scrivendo

$f(t)~=~f_{0}(s(t))$

si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco $f_{0}$ della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante pari a 1:

$\vert f_{0}'(s(t))\vert =1\qquad (\forall t\in I)$

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale ad 1. Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Sistema di Frenet

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di $n$ vettori ortonormali

$e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)\,\!$

dipendenti da $t$, utili per descrivere il comportamento locale della curva in $f(t)$.

Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia regolare, cioè che le derivate

$f'(t),f''(t),\ldots ,f^{(n)}(t)\,\!$

siano linearmente indipendenti, e quindi formino una base. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come

$\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{|f'(t)|}}.$

Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

In due dimensioni

File:OsculatingCircle.png

Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet $e_{1}(t)$ è la tangente alla curva al tempo $t$, mentre il vettore $e_{2}(t)$, detto vettore normale è il vettore normale a $e_{1}(t)$, nella direzione in cui curva. La curvatura

$\kappa (t)=\chi _{1}(t)$

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco

${\frac {1}{\kappa (t)}}$

è chiamato raggio di curvatura. Ad esempio, una circonferenza di raggio $r$ ha curvatura costante $1/r$, mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a $e_{1}(t)$ e di raggio $1/r$. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo $t$ "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di $f$ nel punto.

In tre dimensioni

Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato

Nello spazio tridimensionale i vettori di Frenet e le curvature hanno dei nomi specifici.

Vettore tangente

Il primo vettore di Frenet $e_{1}$ è il vettore tangente, definito quindi come

$\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {f'(t)}{|f'(t)|}}.$

Se $f$ è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

$\mathbf {e} _{1}(t)=f'(t).$

Versore normale

Il versore normale misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come

$\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)|}}{\mbox{, }}\quad {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)=f''(t)-\langle f''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t).$

I vettori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto $t$.

Curvatura

La prima curvatura generalizzata χ₁(t) è chiamata semplicemente curvatura di $f$ in $t$, ed è data da

$\kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{|\mathbf {f} ^{'}(t)|}}.$

Il reciproco della curvatura

${\frac {1}{\kappa (t)}}$

è il raggio di curvatura nel punto $t$.

Vettore binormale

Il vettore binormale è il terzo vettore di Frenet $e_{3}(t)$: è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come

$\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t).$

Torsione

La seconda curvatura generalizzata χ₂(t) è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

$\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{|\mathbf {\gamma } '(t)|}}.$

Formule di Frenet-Serret

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate χ_i.

2 dimensioni

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}$

3 dimensioni

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

n dimensioni (formula generale)

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&&0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&&-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}$

Proprietà delle curvature

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date $n$ funzioni

$\chi _{i}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n},\ i=1,\ldots ,n$

sufficientemente differenziabili, con

$\chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1$

esiste un'unica curva $f$ avente quelle curvature, a meno di traslazioni ed altre isometrie dello spazio euclideo.

Voci correlate

• curva
• geodetica
• sistema di riferimento
• geometria differenziale
• problemi di misura (geometria descrittiva)