Biforcazione transcritica: differenze tra le versioni
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Studiando il campo vettoriale al variare di <math>r</math> si nota come i due punti di equilibrio restino sempre <math>x=0</math> ed <math>x=r</math>, sebbene le stabilità cambino a seconda del parametro. |
Studiando il campo vettoriale al variare di <math>r</math> si nota come i due punti di equilibrio restino sempre <math>x=0</math> ed <math>x=r</math>, sebbene le stabilità cambino a seconda del parametro. |
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[[Image:Transcritical.png|center| |
[[Image:Transcritical.png|center|700px|Campo vettoriale della biforcazione transcritica]] |
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*Se <math>r<0</math> vi è un punto di equilibrio instabile in <math>x=r</math> ed uno stabile in <math>x=0</math>. |
*Se <math>r<0</math> vi è un punto di equilibrio instabile in <math>x=r</math> ed uno stabile in <math>x=0</math>. |
Versione delle 13:49, 16 mar 2008
In Matematica una biforcazione transcritica è una [[Teoria delle biforcazioni|biforcazione] locale nella quale, al variare del parametro, si ha un cambiamento di stabilità dei punti d'equilibrio.
Sia prima che dopo la biforcazione vi sono, infatti, un punto d'equilibrio stabile ed uno instabile. Ad un certo valore critico i due punti coincidono e si scambiano la stabilità. In tal modo il punto instabile diventa stabile e vice versa.
L'esempio classico di biforcazione transcritica è dato dall'equazione differenziale
L'equazione è simile a quella dell'equazione logistica, solo che in questo caso sia che possono assumere valori qualunque, sia positivi che negativi (mentre nella logistica non avrebbe senso considerare popolazioni negative).
Studiando il campo vettoriale al variare di si nota come i due punti di equilibrio restino sempre ed , sebbene le stabilità cambino a seconda del parametro.
- Se vi è un punto di equilibrio instabile in ed uno stabile in .
- Se i due punti di equilibrio collidono nel solo instabile a sinistra e stabile a destra. È questo il valore in cui si ha lo scambio di stabilità tra i due punti.
- Se vi è un punto di equilibrio instabile in ed uno stabile in .
Dal diagramma di biforcazione si vede la presenza di due rami: uno stabile coincidente con l'asse delle ascisse per e con la bisettrice principale per e l'altro instabile speculare rispetto all'origine.