Shell sort

Lo Shell sort (o Shellsort) è uno dei più vecchi algoritmi di ordinamento. È stato ideato nel 1959 da Donald L. Shell [Sh]. È veloce, facile da comprendere e da implementare. Comunque, l'analisi della sua complessità è leggermente più sofisticata. È semplice comprendere in maniera intuitiva il fuzionamento dell'algoritmo, ma è spesso difficile analizzarne il tempo di esecuzione.

Lo Shell sort viene a volte chiamato "Shell-Metzner sort" in onore di Marlene Metzner che ne scrisse una primissima implementazione in FORTRAN. Venne per la prima volta chiamato Shell-Metzner in un articolo su Creative Computing nel 1976, ma Marlene Metzner disse di non volere che l'algoritmo portasse il suo nome.

Concetto base

Lo Shell sort è una estensione dell'insertion sort, tenendo presenti due osservazioni:

1. L'Insertion sort è efficiente se l'input è già abbastanza ordinato.
2. L'Insertion sort è inefficiente, generalmente, in quanto muove i valori di una sola posizione per volta.

Lo Shell sort è simile all'insertion sort, ma funziona spostando i valori di più posizioni per volta man mano che risistema i valori, diminuendo gradualmente la dimensione del passo sino ad arrivare ad uno. Alla fine, lo Shell sort esegue un insertion sort, ma per allora i dati saranno già piuttosto ordinati.

Consideriamo un valore piccolo posizionato inizialmente all'estremità errata di un array dati di lunghezza n. Usando l'insertion sort, ci vorranno circa n confronti e scambi per spostare questo valore lungo tutto l'array fino all'altra estremità. Con lo Shell sort, si muoveranno i valori usando passi di grosse dimensioni, cosicché un valore piccolo andrà velocemente nella sua posizione finale con pochi confronti e scambi.

L'idea dietro lo Shell sort può essere illustrata nel seguente modo:

1. sistema la sequenza dei dati in un array bidimensionale(con un numero h di colonne)
2. ordina i valori presenti all'interno di ciascuna colonna dell'array
3. ripeti dal punto 1 con un diverso numero h (minore del precedente) fino a portare h ad 1

L'effetto finale è che la sequenza dei dati viene parzialmente ordinata. La procedura viene eseguita ripetutamente, ogni volta con un array più piccolo, cioè, con un numero di colonne h più basso. Nell'ultima passata, l'array è composto da una singola colonna(h=1) trasformando di fatto questo ultimo giro in un insertion sort puro e semplice. Ad ogni passata i dati diventano sempre più ordinati, finché, durante l'ultima lo diventano del tutto. Comunque, il numero di operazioni di ordinamento necessarie in ciascuna passata è limitato, a causa dell'ordinamento parziale ottenuto nelle passate precedenti.

Esempio

Poniamo che

3 7 9 0 5 1 6 8 4 2 0 6 1 5 7 3 4 9 8 2

sia la sequenza da ordinare. Prima, viene organizzata in un array con 7 colonne (sinistra), poi le colonne vengono ordinate (destra):

3 7 9 0 5 1 6          3 3 2 0 5 1 5
8 4 2 0 6 1 5    ->    7 4 4 0 6 1 6
7 3 4 9 8 2            8 7 9 9 8 2

Gli elementi 8 e 9 sono ora arrivati in fondo alla sequenza, ma lì c'è anche un elemento piccolo (2) che non dovrebbe esserci. Nella prossima passata, la sequenza viene organizzata su tre colonne, che vengono nuovamente ordinate:

3 3 2          0 0 1
0 5 1          1 2 2
5 7 4          3 3 4
4 0 6    ->    4 5 6
1 6 8          5 6 8
7 9 9          7 7 9
8 2            8 9

Ora la sequenza è quasi completamente ordinata. Una volta organizzata su una sola colonna durante l'ultima passata, sono solamente un 6, un 8 ed un 9 che devono essere spostati leggermente per arrivare a destinazione.

In realtà, i dati non vengono inseriti in un array bidimensionale, ma vengono tenuti in un array monodimensionale indirizzato opportunamente. Per esempio, i dati alle posizioni 0, 5, 10, 15, etc. formerebbero la prima colonna di un array a cinque colonne. Le "colonne" ottenute con questo indirizzamento vengono ordinate tramite l'Insertion sort, dal momento che questo metodo è piuttosto veloce con sequenze abbastanza ordinate.

Analisi

La correttezza dell'algoritmo viene dal fatto che durante l'ultima passata (cioè per h = 1) un normale insertion sort viene eseguito sull'intero array. Ma, visto che i dati vengono preordinati dalle passate precedenti (h = 3, 7, 31, ...), una manciata di operazioni dell'insertion sort sono sufficienti. Il numero esatto dipende dalla sequenza dei valori h (noti come sequenze h). La sequenza h sopracitata è solo una delle molte possibili.

(Pratt)Con la sequenza h 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, ..., 2^p3^q, ... Shellsort esegue O(n·log(n)²) passi per ordinare una sequenza di lunghezza n.

(Hibbard) Con la sequenza h 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ..., 2^k - 1, ... Shellsort esegue O(n^3/2) passi per ordinare una sequenza di lunghezza n.

(Knuth) Con la sequenza h 1, 4, 13, 40, 121, ..., 3h_s-1 + 1 = (3^s - 1)/2, ... Shellsort esegue O(n^3/2) passi per ordinare una sequenza di lunghezza n.

(Sedgewick) Con la sequenza h 1, 5, 19, 41, 109, 209, ... (descritta qui sotto), Shellsort esegue O(n^4/3) passi per ordinare una sequenza di lunghezza n.

$h_{s}={\begin{cases}9\cdot 2^{s}-9\cdot 2^{s/2}+1&{\mbox{per }}s{\mbox{ pari}}\\8\cdot 2^{s}-6\cdot 2^{(s+1)/2}+1&{\mbox{per }}s{\mbox{ dispari}}\\\end{cases}}$

(Insertion sort) Il caso peggiore dello Shell sort è l'insertion sort base (usando un passo h = 1), che richiede O(n²) confronti e scambi.

Una sequenza h facilmente computabile per lo Shell sort è la Sequenza di Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ), o il suo quadrato (1, 4, 9, 25, 64, ...).

Implementazioni

Utilizzo di una lista di dimensioni

Il seguente programma C ordina un array a dalla posizione 0 fino a n-1. Il numero di colonne usato per organizzare i dati in ciascuna passata è nell'array cols. Quindi, i dati vengono distribuiti in 4,356,424 colonne durante la prima passata e in una sola colonna nell'ultima. È da notare che essenzialmente nulla viene eseguito se il numero di colonne h è maggiore del numero di elementi dati n . Ciascuna colonna viene ordinata usando l'insertion sort. Prima, i dati della seconda riga, cominciando da i = h, vengono portati nella corretta posizione all'interno della loro colonna, poi i dati della terza riga (quando i raggiunge il valore 2h) e così via.

void shellsort (int[] a, int n) {
    int i, j, k, h, v;
    int[] cols= { 4356424, 1355339, 543749, 213331, 84801, 27901,
                    11969, 4711, 1968, 815, 277, 97, 31, 7, 3, 1 };
    for (k=0; k<16; k++) {
        h=cols[k];
        for (i=h; i<n; i++) {
            v=a[i];
            j=i;
            while (j>=h && a[j-h]>v) {
                a[j]=a[j-h];
                j=j-h;
            }
            a[j]=v;
        }
    }
}

Utilizzo dei numeri di Fibonacci

void shellsort (int[] a, int n) {
    int h=1, hh=1;

    while(hh<n) {
       // eg, h = 5, hh = 8
       hh=hh+h; // hh = 8 + 5 = 13
       h=hh-h;  // h = 13 - 5 = 8
    }

    while(hh > 1) {
        int i, j, v;
        for (i=h; i<n; i++) {
            v=a[i];
            j=i;
            while (j>=h && a[j-h]>v) {
                a[j]=a[j-h];
                j=j-h;
            }
            a[j]=v;
        }

        // eg, h = 8, hh = 13

        h = hh - h; // h = 13 - 8 = 5
        hh = hh - h; // hh = 13 - 5 = 8
    }
}

I quadrati dei numeri di Fibonacci (1, 4, 9, 25, ...) formano una sequenza ancora migliore. L'implementazione viene lasciata al lettore.

Bibliografia

[Kn] D.E. Knuth: Sorting and Searching, vol. 3 of The Art of Computer Programming. Addison-Wesley (1973)
[Se] R. Sedgewick: Algorithms. Addison-Wesley (1988)
[Sh] D.L. Shell: A high-speed sorting procedure. Communications of the ACM 2 (7), 30-32 (1959)

Collegamenti esterni

• Analisi dettagliata dello Shell sort (inglese)
• Dizionario degil Algoritmi e Strutture Dati: Shellsort (inglese)