Campo ordinato: differenze tra le versioni
provo a scrivere meglio l'incipit |
Alcune specificazioni nella sezione introduttiva con riferimento alla definizione Etichette: Modifica da mobile Modifica da web per mobile |
||
Riga 1: | Riga 1: | ||
In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra]], un '''campo ordinato''' è un [[campo (matematica)|campo]] dotato di un [[ordine totale|ordinamento totale]] "compatibile" con |
In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra]], un '''campo ordinato''' è un [[campo (matematica)|campo]] dotato di un [[ordine totale|ordinamento totale]] "compatibile" con l’operazione “somma” del campo (il significato preciso di "compatibile" è formalmente descritto nella prima proprietà della sezione seguente). Il concetto fu introdotto da [[Emil Artin]] nel [[1927]]. |
||
==Definizione== |
==Definizione== |
Versione delle 17:17, 14 ago 2021
In matematica, e più precisamente in algebra, un campo ordinato è un campo dotato di un ordinamento totale "compatibile" con l’operazione “somma” del campo (il significato preciso di "compatibile" è formalmente descritto nella prima proprietà della sezione seguente). Il concetto fu introdotto da Emil Artin nel 1927.
Definizione
Un campo K dotato di un ordine totale ≤ è un campo ordinato se sono verificate le proprietà seguenti per ogni a, b, c nel campo:
- se a ≤ b allora a + c ≤ b + c
- se 0 ≤ a e 0 ≤ b, allora 0 ≤ a·b
Proprietà
Altre relazioni
Dagli assiomi seguono le proprietà seguenti, valide per ogni a, b, c, d in K:
- Vale una delle due relazioni seguenti: −a ≤ 0 ≤ a oppure a ≤ 0 ≤ −a.
- Le disuguaglianze possono essere sommate: se a ≤ b e c ≤ d, allora a + c ≤ b + d
- Le disuguaglianze possono essere moltiplicate con elementi positivi: se a ≤ b e 0 ≤ c, allora a·c ≤ b·c.
Unità
Il numero 1 è positivo. Infatti se per assurdo 1 non è positivo allora lo è −1, che implica a sua volta che 1 = (−1)(−1) è positivo.
Caratteristica
Un campo ordinato ha caratteristica 0. Infatti 1 > 0 implica 1 + 1 > 0, quindi 1 + 1 + 1 > 0, ecc. e quindi non è possibile ottenere zero come 1 + 1... + 1.
Sottocampi
Ogni sottocampo di un campo ordinato è un campo ordinato (con lo stesso ordinamento). Il più piccolo sottocampo è isomorfo al campo dei numeri razionali (questa proprietà è valida in tutti i campi a caratteristica zero), con il loro ordinamento standard.
Campo archimedeo
Un campo ordinato si dice archimedeo se dati comunque due elementi e con esiste tale che .
Si dimostra che un campo è archimedeo se e solo se ogni suo elemento sta tra due elementi del sottocampo razionale. Ad esempio, il campo dei numeri reali è archimedeo, mentre quello dei numeri iperreali non lo è, così come quello dei numeri p-adici.
Se un campo ordinato non è archimedeo, esisteranno almeno due elementi (supponiamoli positivi, ma lo stesso discorso vale qualora fossero negativi, con le dovute modifiche) , , con >>0, tali che, scelto comunque un numero naturale , si abbia ; si dice allora un infinitesimo. I campi non archimedei sono un concetto forse controintuitivo ma importante nell'analisi non standard.
Esempi
Esempi di campi ordinati sono i seguenti:
Esempi di campi NON ordinati sono i seguenti:
Bibliografia
- Lang, Serge, Algebra, 3° ed, Addison-Wesley, 1997, ISBN 978-0-201-55540-0.