Termine spettroscopico

In fisica il termine atomico, anche chiamato termine spettroscopico di Russell-Saunders, sintetizza il numero quantico azimutale di un sistema di particelle.

In fisica atomica, il termine atomico è usato per caratterizzare gli elettroni in un atomo, e determina un livello energetico della configurazione elettronica basandosi sull'accoppiamento di Russell-Saunders. Per il termine atomico dello stato fondamentale valgono le regole di Hund.

Notazione

Il termine spettroscopico ha la forma

${}^{2S+1}\!L_{J}$

dove

$L$ è il numero azimutale, in notazione spettroscopica.

$S$ è lo numero quantico di spin, $2S+1$ è la degenerazione di spin, cioè il massimo numero di possibili stati $J$ per una data configurazione di $L$ e $S$.

$J$ è il numero del momento angolare totale.

I primi $17$ simboli $L$ sono:

$L$ =	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	...
	$S$	$P$	$D$	$F$	$G$	$H$	$I$	$K$	$L$	$M$	$N$	$O$	$Q$	$R$	$T$	$U$	$V$	(continuano in ordine alfabetico)

Termini, livelli e stati

Il termine spettroscopico viene usato anche per sistemi composti come nuclei atomici o molecole. Nel caso degli elettroni in un atomo, per una data configurazione elettronica si ha:

• Una combinazione dei possibili valori di $S$ e $L$ è chiamata termine, sinonimo di livello energetico, ed ogni termine può assumere $(2S+1)(2L+1)$ valori, detti microstati.
• Una combinazione dei possibili valori di $S$, $L$ e $J$ è chiamata livello, ed ogni livello può assumere $(2J+1)$ microstati associati al termine corrispondente.
• Una combinazione di $L,S,J$ e $M_{J}$ determina univocamente un singolo stato.

Grado di parità

La parità del termine atomico è data da:

$P=(-1)^{\sum _{i}l_{i}}$

dove $l_{i}$ è il numero quantico azimutale del singolo elettrone.

Nel caso sia dispari, la parità del termine spettroscopico è indicata dall'apice "$o$", altrimenti l'apice è omesso

${}^{2}\!\mathrm {P} _{1/2}^{o}$ ha parità dispari, ${}^{3}\!\mathrm {P} _{0}$ ha parità pari.

In alternativa la parità può essere indicata con i pedici "$g$" o "$u$", che indicano rispettivamente gerade (termine tedesco che sta per "pari") e ungerade ("dispari"):

${}^{2}\!\mathrm {P} _{1/2,u}$ ha parità dispari, ${}^{3}\!\mathrm {P} _{0,g}$ ha parità pari.

Stato fondamentale

Il termine spettroscopico dello stato fondamentale è quello dello stato con massimi $S$ e $L$.

1. Considerata la configurazione elettronica più stabile, le shell complete non contribuiscono al momento angolare totale. Se tutte le shell sono complete, il termine spettroscopico è ${}^{1}\!S_{0}$.
2. Gli elettroni si distribuiscono seguendo il principio di esclusione di Pauli, e riempiono gli orbitali partendo da quelli con il massimo numero quantico magnetico $m_{l}$ con un solo elettrone. Si assegna il massimo valore del numero quantico di spin $m_{s}$ ad ogni orbitale, ovvero $+1/2$. Quando tutti gli orbitali hanno un elettrone essi vengono completati con il secondo elettrone di spin $-1/2$ con lo stesso metodo.
3. Lo spin totale $S$ è pari alla somma degli $m_{s}$ di ogni elettrone. Il momento angolare orbitale totale $L$ è pari alla somma degli $m_{l}$ di ogni elettrone.
4. Il momento angolare totale è pari a $J=|L-S|$ se la shell è meno di metà completa, $J=L+S$ se la shell è più di metà completa. Se la shell è esattamente riempita a metà $L$ è nullo e $J=S$ (terza regola di Hund).

Generalizzazione

Per calcolare il termine spettroscopico di una data configurazione elettronica si procede nel modo seguente:

• Si calcola il numero $N$ di possibili microstati di una data configurazione elettronica, si riempiono parzialmente le subshell e per un dato numero quantico orbitale $l$. Il numero totale di elettroni che possono essere disposti è $t=2(2l+1)$. Se vi sono $e$ elettroni in una data subshell il numero di possibili microstati è:

$N={t \choose e}={t! \over {e!\,(t-e)!}}.$

Si prenda ad esempio la configurazione elettronica del carbonio: $1s^{2}2s^{2}2p^{2}$. Dopo aver rimosso le subshell piene vi sono due elettroni nel livello $p\;(l=1)$, così che si hanno:

$N={6! \over {2!\,4!}}=15$

differenti microstati.

• Si disegnano quindi nel modo seguente i possibili microstati e si calcola $M_{L}$ e $M_{S}$ per ciascuno di essi, con $M=\sum _{i=1}^{e}m_{i}$, dove $m_{i}$ è o $m_{l}$ oppure $m_{s}$ per l'$i$-esimo elettrone e $M_{L,S}$ rappresenta rispettivamente il $M_{L}$ o il $M_{S}$ risultante:

	$m_{l}$
	$+1$	$0$	$-1$	$M_{L}$	$M_{S}$
tutti "su"	↑	↑		$+1$	$+1$
	↑		↑	$0$	$+1$
		↑	↑	$-1$	$+1$
tutti "giù"	↓	↓		$+1$	$-1$
	↓		↓	$0$	$-1$
		↓	↓	$-1$	$-1$
uno "su" uno "giù"	↑↓			$+2$	$0$
	↑	↓		$+1$	$0$
	↑		↓	$0$	$0$
	↓	↑		$+1$	$0$
		↑↓		$0$	$0$
		↑	↓	$-1$	$0$
	↓		↑	$0$	$0$
		↓	↑	$-1$	$0$
			↑↓	$-2$	$0$

• Si conta quindi il numero di microstati per ogni combinazione di $M_{L}-M_{S}$

		$M_{S}$
		$+1$	$0$	$-1$
$M_{L}$	$+2$		$1$
	$+1$	$1$	$2$	$1$
	$0$	$1$	$3$	$1$
	$-1$	$1$	$2$	$1$
	$-2$		$1$

• Si estrae la più piccola tabella rappresentante ogni possibile termine. Ogni tabella ha dimensione $(2L+1)(2S+1)$ e tutte le sue entrate saranno $1$. La prima ad essere estratta corrisponde a $M_{L}$ che varia tra $-2$ a $+2$ (cioè $L=2$), con un solo valore per $M_{S}$ (cioè $S=0$): questo corrisponde al termine $^{1}D$. Il resto della tabella è 3×3. Si estrae quindi la seconda tabella, rimuovendo le entrate per $M_{L}$ e $M_{S}$, entrambe variano tra $-1$ a $+1$ (cioè $S=L=1$, il termine $^{3}P$). La restante parte della tabella è 1×1, con $L=S=0$, cioè il termine $^{1}S$.

$\mathbf {S=0,\;L=2\;J=2}$ $\mathbf {^{1}D_{2}}$   $M_{s}$   $0$ $M_{l}$ $+2$ $1$ $+1$ $1$ $0$ $1$ $-1$ $1$ $-2$ $1$

$\mathbf {S=1,\;L=1,\;J=2,\;1,\;0}$ $\mathbf {^{3}P_{2},\;^{3}P_{1},\,^{3}P_{0}}$   $M_{s}$   $+1$ $0$ $-1$ $M_{l}$ $+1$ $1$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $-1$ $1$ $1$ $1$

$\mathbf {S=0,\;L=0,\;J=0}$ $\mathbf {^{1}S_{0}}$   $M_{s}$   $0$ $M_{l}$ $0$ $1$

• Infine, applicando le regole di Hund, si ricava lo stato fondamentale.

Note

Bibliografia

• (EN) Nicola Manini, Introduction to the Physics of Matter, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1.
• Simone Franchetti, Anedio Rangagni, Daniela Mugnai, Elementi di Struttura della Materia, Zanichelli, 1986, ISBN 88-08-06252-X.
• Egidio Landi Degl'Innocenti, Spettroscopia Atomica e Processi Radiativi, Springer, 2009, ISBN 978-88-470-1158-8.

Voci correlate

• Accoppiamento di Russell-Saunders
• Interazione spin-orbita
• Accoppiamento jj