Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

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Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi).
Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi).


Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili generalizzate consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.


Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
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Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace </math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]. La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace </math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]. La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.


Un doppio [[pendolo]] costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani <math>(x,y)</math>, con l'asse <math>y</math> verticale discendente, da quattro [[coordinate cartesiane]] <math>\lbrace x_1,y_1,x_2,y_2\rbrace</math>, ma il sistema ha solo due [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili lagrangiane l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace\theta_1,\theta_2 \rbrace</math> otteniamo le seguenti relazioni:
Un doppio [[pendolo]] costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani <math>(x,y)</math>, con l'asse <math>y</math> verticale discendente, da quattro [[coordinate cartesiane]] <math>\lbrace x_1,y_1,x_2,y_2\rbrace</math>, ma il sistema ha solo due [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili generalizzate l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo <math>\lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace\theta_1,\theta_2 \rbrace</math> otteniamo le seguenti relazioni:


:<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \rbrace</math>
:<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \rbrace</math>
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==Forza generalizzata==
==Forza generalizzata==
Le forze generalizzate sono definite come in numero di <math>I</math> [[grandezze scalari]], con '''<math>I</math>''' il grado di libertà del sistema:
Le forze generalizzate sono definite come in numero di <math>I</math> [[grandezze scalari]], con '''<math>I</math>''' il grado di libertà del sistema:
:<math>F_i = \frac{\partial W}{\partial q_i} = \sum_{k = 1}^N \mathbf F_k \cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i},</math>
:<math>Q_i = \frac{\partial W}{\partial q_i} = \sum_{k = 1}^N \mathbf F_k \cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i},</math>


Dove <math>W</math> è il [[lavoro]] della [[forza risultante|risultante]] attiva <math>\mathbf F</math> agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze [[forza]] e [[momento meccanico]] prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.
Dove <math>W</math> è il [[lavoro]] della [[forza risultante|risultante]] attiva <math>\mathbf F</math> agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze [[forza]] e [[momento meccanico]] prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.
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:<math>\delta W_k=\sum_{i=1}^I \mathbf F_k\cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\delta q_i=\sum_{i=1}^I F_{k,i} \cdot \delta q_i</math>
:<math>\delta W_k=\sum_{i=1}^I \mathbf F_k\cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\delta q_i=\sum_{i=1}^I F_{k,i} \cdot \delta q_i</math>


Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. A livello [[ingegneria|ingegneristico]] dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta q_i</math>, oppure alle [[sollecitazioni esterne]] imposte realmente dai vincoli, l'approccio Lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.
Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. A livello [[ingegneria|ingegneristico]] dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta q_i</math>, oppure alle [[sollecitazioni esterne]] imposte realmente dai vincoli, l'approccio lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.


In base alle [[equazioni di Lagrange]] del I tipo e in [[forma di Nielsen]] si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:
In base alle [[equazioni di Lagrange]] del I tipo e in [[forma di Nielsen]] si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:


:<math>F_i = \dot p_i = {\partial{T}\over \partial{\dot q_i}} - 2 {\partial{T}\over \partial q_i}</math>,
:<math>Q_i = {\partial{T}\over \partial{\dot q_i}} - 2 {\partial{T}\over \partial q_i}</math>,


Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine <math> - \frac{\partial T}{\partial q_i}</math> dalla derivata temporale della quantità di moto <math>\dot P_i</math>, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di [[forza]] basata sul [[secondo principio della dinamica]], valida solo per la dinamica newtoniana.
Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine <math> - \frac{\partial T}{\partial q_i}</math> dalla derivata temporale della quantità di moto <math>\dot P_i</math>, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di [[forza]] basata sul [[secondo principio della dinamica]], valida solo per la dinamica newtoniana.
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*[[Principio variazionale di Hamilton]]
*[[Principio variazionale di Hamilton]]
*[[Teorema di Noether]]
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*[[Trasformazioni canoniche]]
*[[Teoria di Hamilton-Jacobi]]
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*[[Trasformazioni canoniche]]


==Collegamenti esterni==
==Collegamenti esterni==

Versione delle 11:27, 20 ago 2019

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Coordinate euleriane e lagrangiane.

In meccanica lagrangiana un sistema di coordinate generalizzate è un sistema di coordinate, di numero pari o superiore ai gradi di libertà del sistema, che determina univocamente lo stato del sistema.

Definizione

Dato un sistema meccanico con gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio cartesiane, nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore , con , è possibile esprimere ogni variabile in funzione del vettore attraverso una funzione regolare. Ogni è detta variabile o coordinata generalizzata:

Queste costituiscono un insieme di generatori di uno spazio vettoriale n-dimensionale, che prende il nome di spazio delle configurazioni del sistema, mentre non è necessario che siano linearmente indipendenti. Ciò non è vero ad esempio in presenza di vincoli che legano tra di loro alcune tra le . Le coordinate generalizzate possono quindi anche essere rappresentate da grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio dall'energia meccanica o dal volume del sistema.

Esempi

Un sistema di particelle nello spazio -dimensionale può avere fino a gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di corpi rigidi può avere fino a coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi).

Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili generalizzate consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il centro di massa del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.

Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una curva regolare ) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea , cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.

Analogamente un corpo vincolato ad una superficie ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è , dove e sono le coordinate di angolo provenienti dalle coordinate sferiche. La coordinata è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.

Un doppio pendolo costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani , con l'asse verticale discendente, da quattro coordinate cartesiane , ma il sistema ha solo due gradi di libertà, ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili generalizzate l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo otteniamo le seguenti relazioni:

dove è la lunghezza del pendolo vincolato all'origine e è la lunghezza del pendolo vincolato all'estremità libera dell'altro.

Coordinate generalizzate e spazio delle fasi

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio delle fasi.

Ogni coordinata generalizzata è associata a una velocità generalizzata , definita come:

Nell'ipotesi in cui le coordinate sono linearmente indipendenti fra loro, esse dipendono solo dal tempo:

infine, vale che . Si definisce Lagrangiana la funzione:

dove è l'energia cinetica e è l'energia potenziale. Si definisce quantità di moto, o momento lineare, coniugata alla coordinata il vettore:

inoltre vale che . Secondo la formulazione lagrangiana della meccanica, come generatori dello spazio delle fasi si usa la coppia di coordinate lagrangiane , mentre secondo la formulazione hamiltoniana, si utilizza la coppia di coordinate hamiltoniane .

Velocità generalizzata

Sia dato un sistema di particelle in dimensioni, quindi con al massimo gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima , e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili come una matrice . Si può passare ad un sistema di riferimento formato da coordinate generalizzate se esistono le equazioni di trasformazione tra le coordinate cartesiane e le generalizzate:

Usando la relazione vista in precedenza, queste equazioni possono infatti essere derivate nel tempo, ottenendo le velocità:

e quindi il vettore -dimensionale velocità è dato da:

Energia cinetica in coordinate generalizzate

L'energia cinetica di particelle è data in meccanica newtoniana -dimensionale come:

Esprimendo gli vettori posizione newtoniani (delle particelle rispetto ai assi cartesiani) in funzione delle coordinate generalizzate :

.

Svolgendo e raccogliendo nelle velocità generalizzate :

se :

per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate:
per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate:

Quindi riassumendo vettorialmente l'identità scalare:

si ottiene infine:

L'energia cinetica in coordinate generalizzate è in conclusione una serie di Taylor in I variabili del second'ordine nel vettore velocità , definita positiva poiché lo è l'hessiana che vi compare. Inoltre i due termini lineare e costante dipendono in generale dal tempo: nel caso di un sistema olonomo l'energia cinetica si riduce a

È importante ricordare che le coordinate generalizzate rispetto a cui si determina l'energia cinetica hanno l'ulteriore vantaggio di non dovere necessariamente essere inerziali, a differenza di quelle cartesiane.

Forza generalizzata

Le forze generalizzate sono definite come in numero di grandezze scalari, con il grado di libertà del sistema:

Dove è il lavoro della risultante attiva agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze forza e momento meccanico prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.

Nel caso di vincoli bilaterali permettono di ignorare nell'analisi del sistema le reazioni vincolari (di risultante ), anche per sistemi scleronomi: dato uno spostamento virtuale , ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli considerati come fissi all'istante di riferimento, il lavoro virtuale agente sull'n-esima particella del sistema vale:

Se i vincoli del sistema sono bilaterali, per il principio delle reazioni vincolari i lavori virtuali vincolari sono nulli, e cioè le reazioni sono ortogonali agli spostamenti virtuali:

Esprimendo in funzione delle coordinate generalizzate , e ricordando che per definizione di spostamento virtuale:

Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. A livello ingegneristico dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno spostamento virtuale , oppure alle sollecitazioni esterne imposte realmente dai vincoli, l'approccio lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.

In base alle equazioni di Lagrange del I tipo e in forma di Nielsen si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:

,

Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine dalla derivata temporale della quantità di moto , cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di forza basata sul secondo principio della dinamica, valida solo per la dinamica newtoniana.

Quantità di moto generalizzata e momento lineare coniugato

La quantità di moto generalizzata è definita come grandezza corrispondente alle quantità di moto newtoniane:

Risulta che:

Quest'ultima equivalenza può essere comprovata utilizzando la dimostrazione delle equazioni di Lagrange. La quantità di moto generalizzata vale dunque:

Si tratta di una forma lineare dell'energia cinetica nelle velocità generalizzate. Per un sistema olonomo, in particolare, risulta:

Si deve porre attenzione nel legare quantità di moto generalizzate e forze generalizzate, in quanto le quantità di moto lagrangiane sono in base alle equazioni di Lagrange del I tipo:

e differiscono quindi per il secondo termine dal momento lineare coniugato (alla coordinata posizione ) , cui si arriverebbe tentando di generalizzare la definizione newtoniana di forza come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il secondo principio della dinamica.

In coordinate cartesiane, la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramente la quantità di moto semplice, mentre in coordinate sferiche diventa il momento angolare. In generale però non è sempre possibile darne un'interpretazione intuitiva.

Bibliografia

  • Wells, D.A., Schaum's Outline of Lagrangian Dynamics; McGraw-Hill, Inc. New York, 1967.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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