Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

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Usando la relazione vista in precedenza, queste equazioni possono infatti essere derivate nel tempo, ottenendo le [[velocità]]:
 
:<math>\begin{align}\dot x_d
& = \frac {d}{dt} x_d \left (q_n, t \right) = \\
&= \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial q_i}{\partial q_i \over \partial t}+\frac{\partial x_d}{\partial t} = \\
&= \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial x_d}{\partial t}
\end{align}
</math>
 
:<math>T_{(\dot {\mathbf x})} = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_k \dot {\mathbf x}_k \cdot \dot {\mathbf x}_k </math>
 
Esprimendo gli '''<math>N</math>''' vettori posizione newtoniani <math>\mathbf x_{(\mathbf q)}</math> (delle particelle rispetto ai '''<math>D</math>''' assi cartesiani) in funzione delle '''<math>I</math>''' coordinate lagrangianegeneralizzate <math>q_i</math>:
 
:<math>T_{(\dot {\mathbf q})}=\frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N}m_k \left(\frac{\partial \mathbb x_k}{\partial t} + \sum_{i=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\dot q_i\right)\cdot
:<math> T : \R^I \to \R </math>
 
L'energia cinetica in coordinate lagrangianegeneralizzate è in conclusione una [[ Serie di Taylor#Serie di Taylor in più variabili|serie di Taylor in I variabili]] [[forma quadratica|del second'ordine]] nel vettore velocità <math>\dot {\mathbf q}</math>, definita positiva poiché lo è l'[[hessiana]] <math>H</math> che vi compare. Inoltre i due termini lineare <math>\nabla T_{(\bar 0)}</math> e costante <math>T_{(\bar 0)}</math> dipendono in generale dal tempo: nel caso di un '''sistema olonomo''' l'energia cinetica si riduce a
 
:<math>T|_{\left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} = 0\right)} = \frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot \underline \underline H_{(\dot {\mathbf r})}T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} = \frac{1}{2} \mathbf p \cdot \dot {\mathbf q}</math>
 
È importante ricordare che le coordinate lagrangianegeneralizzate rispetto a cui si determina l'energia cinetica hanno l'ulteriore vantaggio di non dovere necessariamente essere [[sistema di riferimento inerziale|inerziali]], a differenza di quelle cartesiane.
 
==Forza generalizzata==

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