Spazi delle righe e delle colonne

Righe di una matrice.

Colonne di una matrice.

In matematica, e in particolare in algebra lineare, lo spazio delle righe di una matrice $A_{m\times n}$ con valori reali (o più in generale in un campo $K$) è il sottospazio di $\R^n$ (o più in generale di $K^n$ ) generato dai vettori riga della matrice. Analogamente, lo spazio delle colonne è il sottospazio di $K^m$ generato dalle colonne.

Pur essendo contenuti in spazi vettoriali differenti, lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione, pari al rango di $A$. Tale dimensione è al più il minimo fra gli interi $m$ e $n$.

Esempio

Ad esempio, consideriamo una matrice

$A := \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2\\ -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\ 1 & 6 & 2 & 2 & 2\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1\\ \end{bmatrix}$

e denotiamo le sue righe con $r_1 = (2,4,1,3,2), r_2 = (-1,-2,1,0,5), r_3 = (1,6,2,2,2), r_4 = (3,6,2,5,1)$.

Lo spazio delle righe di $A$ è il sottospazio di $\R^5$ generato da

$\{r_1, r_2, r_3, r_4 \}$

Viceversa, denotando le colonne con $c_1 = (2,-1, 1, 3), c_2 = (4, -2 ,6, 6), c_3 = (1, 1, 2, 2) , c_4 =(3, 0, 2, 5), c_5 =(2,5,2,1)$. Lo spazio delle colonne di $A$ è il sottospazio di $\R^4$ generato da

$\{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5 \}$

Proprietà

Lo spazio delle colonne è anche l'immagine dell'applicazione lineare $L_A: K^n \to K^m$ definita come

$x \mapsto Ax.$

Voci correlate

• Spazio nullo