Spazi delle righe e delle colonne

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Righe di una matrice.
Colonne di una matrice.

In matematica, e in particolare in algebra lineare, lo spazio delle righe di una matrice  A_{m\times n} con valori reali (o più in generale in un campo  K ) è il sottospazio di  \R^n (o più in generale di  K^n ) generato dai vettori riga della matrice. Analogamente, lo spazio delle colonne è il sottospazio di  K^m generato dalle colonne.

Pur essendo contenuti in spazi vettoriali differenti, lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione, pari al rango di  A . Tale dimensione è al più il minimo fra gli interi  m e  n .

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Ad esempio, consideriamo una matrice


  A :=
  \begin{bmatrix}
    2 & 4 & 1 & 3 & 2\\
    -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\
    1 & 6 & 2 & 2 & 2\\
    3 & 6 & 2 & 5 & 1\\
  \end{bmatrix}

e denotiamo le sue righe con  r_1 = (2,4,1,3,2), r_2 = (-1,-2,1,0,5), r_3 = (1,6,2,2,2), r_4 = (3,6,2,5,1) .

Lo spazio delle righe di  A è il sottospazio di  \R^5 generato da

 \{r_1, r_2, r_3, r_4 \}

Viceversa, denotando le colonne con  c_1 = (2,-1, 1, 3), c_2 = (4, -2 ,6, 6), c_3 = (1, 1, 2, 2) , c_4 =(3, 0, 2, 5), c_5 =(2,5,2,1) . Lo spazio delle colonne di  A è il sottospazio di  \R^4 generato da

 \{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5 \}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio delle colonne è anche l'immagine dell'applicazione lineare  L_A: K^n \to K^m definita come

 x \mapsto Ax.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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