Spazi delle righe e delle colonne

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Righe di una matrice.

Colonne di una matrice.

In matematica, e in particolare in algebra lineare, lo spazio delle righe di una matrice $A_{m\times n}$$A_{{m\times n}}$ con valori reali (o più in generale in un campo $K$$K$) è il sottospazio di $\mathbb {R} ^{n}$$\R^n$ (o più in generale di $K^{n}$$K^{n}$ ) generato dai vettori riga della matrice. Analogamente, lo spazio delle colonne è il sottospazio di $K^{m}$$K^{m}$ generato dalle colonne.

Pur essendo contenuti in spazi vettoriali differenti, lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione, pari al rango di $A$$A$. Tale dimensione è al più il minimo fra gli interi $m$$m$ e $n$$n$.

Esempio

Ad esempio, consideriamo una matrice

$A:={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\\\end{bmatrix}}$$A:={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\\\end{bmatrix}}$

e denotiamo le sue righe con $r_{1}=(2,4,1,3,2),r_{2}=(-1,-2,1,0,5),r_{3}=(1,6,2,2,2),r_{4}=(3,6,2,5,1)$$r_{1}=(2,4,1,3,2),r_{2}=(-1,-2,1,0,5),r_{3}=(1,6,2,2,2),r_{4}=(3,6,2,5,1)$.

Lo spazio delle righe di $A$$A$ è il sottospazio di $\mathbb {R} ^{5}$$\mathbb {R} ^{5}$ generato da

$\{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}$$\{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}$

Viceversa, denotando le colonne con $c_{1}=(2,-1,1,3),c_{2}=(4,-2,6,6),c_{3}=(1,1,2,2),c_{4}=(3,0,2,5),c_{5}=(2,5,2,1)$$c_{1}=(2,-1,1,3),c_{2}=(4,-2,6,6),c_{3}=(1,1,2,2),c_{4}=(3,0,2,5),c_{5}=(2,5,2,1)$. Lo spazio delle colonne di $A$$A$ è il sottospazio di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$ generato da

$\{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}\}$$\{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}\}$

Proprietà

Lo spazio delle colonne è anche l'immagine dell'applicazione lineare $L_{A}:K^{n}\to K^{m}$$L_{A}:K^{n}\to K^{m}$ definita come

$x\mapsto Ax.$$x\mapsto Ax.$

Voci correlate

• Spazio nullo