Settimo problema di Hilbert

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In matematica, il settimo problema di Hilbert è uno dei problemi matematici posti da David Hilbert nel 1900. Riguarda l'irrazionalità e la trascendenza di particolari numeri (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Il problema è posto in due forme equivalenti:[1]

  1. In un triangolo isoscele, se il rapporto tra l'angolo alla base e l'angolo al vertice è algebrico ma non razionale, si può affermare che il rapporto tra base e lato è sempre trascendente?
  2. Si può affermare che è sempre trascendente, per ogni numero algebrico e ogni irrazionale algebrico ?

Aleksandr Gelfond ha risposto affermativamente alle due domande nel 1934 e Theodor Schneider ha esteso il suo risultato nel 1935. Il risultato raggiunto è noto come teorema di Gelfond o teorema di Gelfond–Schneider. (La restrizione a irrazionale è importante, dato che è semplice verificare che è algebrico per algebrico e razionale.)

Il teorema è stato successivamente esteso da Alan Baker che ha dimostrato un importante risultato riguardante forme lineari in logaritmi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ A. N. Parshin e I. R. Shafarevich, Number Theory IV Transcendental Numbers, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998, pp. 146-147, ISBN 978-3-540-61467-8.

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