Secondo teorema di König

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In meccanica razionale, il secondo teorema di König (1751) afferma che l'energia cinetica totale di un sistema di punti materiali , dove è una coppia posizione-massa e un sottoinsieme di indici dei naturali, rispetto ad un dato sistema di riferimento è la somma:

ove è l'energia cinetica di traslazione del "centro di massa" (quella che avrebbe un corpo di massa pari a quella totale del sistema, con la velocità propria del centro di massa), e l'energia cinetica rispetto ad un riferimento con origine nel baricentro e assi invariabili rispetto al riferimento .

Questo teorema ha moltissime applicazioni nella fisica, in quanto rende possibile utilizzare alcuni metodi sviluppati per il punto materiale anche con corpi estesi.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo per semplicità il sistema come costituito da un numero N finito di punti materiali, ciascuno dei quali avente massa, posizione e velocità date rispettivamente da , e , in un sistema di riferimento qualsiasi.

L'energia cinetica totale del sistema risulta

Sostituendo , dove è la velocità dell`-esimo punto materiale nel sistema di riferimento del centro di massa e è la velocità del centro di massa nel sistema inerziale, risulta

che è anche

.

Ponendo

e

dove è la massa totale di tutti i punti materiali.

Notiamo inoltre che , per definizione di baricentro, è pari a dove è la velocità del baricentro rispetto al riferimento baricentrale, cioè nulla; quindi:

risulta quindi

come volevasi dimostrare.

Corpo rigido[modifica | modifica wikitesto]

Per un corpo rigido, il termine che viene sommato all'energia del centro di massa rappresenta l'energia di rotazione attorno all'asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa. Infatti dal teorema fondamentale della cinematica del corpo rigido:

Globalmente l'energia cinetica assume quindi la forma:

dove è la massa totale, è il modulo della velocità del centro di massa, il tensore di inerzia del corpo rispetto al centro di massa e la velocità angolare .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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