Riferimento proiettivo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio proiettivo di dimensione (cioè ha dimensione ). Un riferimento proiettivo è una collezione di punti in

tali che nessun sottoinsieme di di questi punti è contenuto in un iperpiano.

Che sia con ciò ben definito, è garantito dal cosiddetto teorema fondamentale della geometria proiettiva.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dal riferimento alla base[modifica | modifica wikitesto]

Un riferimento proiettivo identifica una base dello spazio vettoriale in modo unico, a meno di un fattore moltiplicativo (non nullo applicato a tutti i vettori della base). Tramite la base, è quindi possibile scrivere ogni vettore di in coordinate, e quindi ogni vettore di in coordinate omogenee.

Più precisamente, indicando con la proiezione

vale il fatto seguente:

Esiste una base di tale che

Ogni altra base con questa proprietà è del tipo , per qualche in .

Per il loro ruolo, i punti sono detti punti fondamentali e è il punto unità.

I punti fondamentali non sono sufficienti a determinare una base a meno di un solo fattore globale: per questo scopo è necessario considerare anche il punto unità.

Dalla base alle coordinate omogenee[modifica | modifica wikitesto]

Tramite la base , ogni vettore di è descrivibile tramite le sue coordinate, determinate dalla relazione

Le coordinate di sono quindi . È quindi possibile assegnare alla sua proiezione le coordinate omogenee

Il fattore di arbitrarietà nella scelta della base non influisce nel risultato: infatti la base fornisce le coordinate

equivalenti alle precedenti, poiché omogenee.

Le coordinate omogenee dei punti risultano essere quindi rispettivamente

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Retta proiettiva[modifica | modifica wikitesto]

In una retta proiettiva, un sistema proiettivo necessita di tre punti distinti e , le cui coordinate saranno quindi rispettivamente e .

Piano proiettivo[modifica | modifica wikitesto]

In un piano proiettivo, un sistema proiettivo necessita di quattro punti e . Per ipotesi, tre di questi quattro punti non devono mai giacere su una stessa retta, cioè non devono essere allineati. Le loro coordinate saranno rispettivamente , , e .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica