Regola di Sarrus

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In matematica, in particolare in algebra lineare, la regola di Sarrus è un metodo mnemonico per ricordare la formula del determinante di una matrice quadrata 3 × 3. Prende il nome dal matematico francese Pierre Frederic Sarrus.

La regola di Sarrus non si estende a matrici di ordine maggiore.

La regola[modifica | modifica wikitesto]

Calcolo del determinante di una matrice 3\times 3 tramite un metodo equivalente alla regola di Sarrus.

La regola di Sarrus è un caso particolare di questa formula del determinante:

\det(A) := \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}

Nella formula,  S_n è l'insieme di tutte le permutazioni \sigma dell'insieme numerico  \{1,2,\ldots,n\} e \sgn(\sigma) denota il segno della permutazione (+1 se \sigma è una permutazione pari, −1 se è dispari).

In particolare:

  • Se  n=3 , si ottiene:

\det(A) := a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} -
          a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} \

Visto più semplicemente: Il determinante

 \det
\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
  g & h & i
\end{pmatrix}
= aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb,

può essere espresso tramite somme e differenze dei prodotti dei termini sulle 6 "diagonali continue" della matrice.

Ripetendo infatti a destra della matrice le sue prime due colonne


\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
  g & h & i 
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
  a & b \\
  d & e \\
  g & h 
\end{matrix}

i prodotti dei termini sulle 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali) sono rispettivamente aei, bfg e cdh, mentre i prodotti dei termini sulle 3 "diagonali" che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) sono gec, hfa e idb. Il determinante della matrice è pari alla differenza tra la somma dei primi tre e quella degli ultimi tre:

 aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb \,\!

Mnemonicamente e computazionalmente può essere utile notare che, utilizzando le prime nove lettere dell'alfabeto, gli elementi sulla diagonale sono vocali mentre tutti gli altri sono consonanti, tale controllo è un utile riprova, soprattutto quando si utilizza tale regola per costruire un polinomio caratteristico.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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