Regola del 72

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In finanza, la regola del 72, la regola del 70[1] e la regola del 69,3 sono metodi atti a stimare il tempo di raddoppiamento di un investimento. Il numero a cui ci si riferisce nella regola si divide per il tasso d'interesse sul periodo (generalmente anni) per ottenere un'approssimazione del numero di periodi richiesti per il raddoppiamento. Sebbene le moderne calcolatrici scientifiche e i fogli di calcolo abbiano funzioni per trovare con una maggior accuratezza il tempo di raddoppiamento, queste regole sono comunque utili quando ci si trova a dover effettuare un rapido calcolo mentale o quando si ha a disposizione una semplice calcolatrice.[2]

Queste regole si applicano nelle ipotesi di crescita esponenziale e sono quindi utilizzate per i calcoli relativi all'anatocismo (o interesse composto), in contrapposizione all'interesse semplice, o di decrescita esponenziale, e sono in quel caso utilizzate per calcolare il tempo di dimezzamento. La scelta del numero da utilizzare dipende dalle varie occasioni: il 69 è più accurato nel caso di interesse composto continuo, mentre il 72 funziona meglio con le situazioni di interesse più comuni ed è più facilmente divisibile. Esistono poi diverse variazioni di queste regole volte ad aumentarne la precisione.

In caso di interesse periodico, l'"esatto" tempo di raddoppiamento per un tasso di interesse r sul periodo è dato da:

dove t è il numero di periodi richiesti. Tale formula può essere utilizzata anche per altri scopi, ad esempio, se si volesse sapere il tempo di triplicazione, basterebbe semplicemente sostituire il 2 con un 3, mentre se si volesse sapere il tempo necessario perché il valore iniziale aumenti del 50%, basterebbe sostituire il 2 con un 1,5.

Utilizzo della regola per la stima dei periodi necessari[modifica | modifica wikitesto]

Per avere una stima dei periodi richiesti per raddoppiare il capitale originario investito, occorre dividere la "quantità della regola" per il tasso di crescita atteso, espresso in percentuale.

  • Per esempio, considerando un investimento iniziale di 100 € con un tasso di interesse composto pari al 9% l'anno, secondo la regola del 72 sono necessari 72/9 = 8 anni perché la somma investita arrivi a 200 €. In confronto, un calcolo esatto restituisce come risultato: ln(2)/ln(1+0,09) = 8,0432 anni.
    Allo stesso modo, per determinare il tempo necessario al dimezzamento di un certa quantità dato un determinato tasso, si divide il "numero della regola" per il tasso.
  • Per determinare il tempo necessario affinché il potere d'acquisto della moneta si dimezzi, è sufficiente dividere il "numero della regola" per il tasso di inflazione. Quindi, considerando un tasso di inflazione del 3,5% e usando la "regola del 70", si ottiene un periodo di 70/3,5 = 20 anni perché il potere d'acquisto si dimezzi.[1]
  • Per stimare l'impatto di commissioni aggiuntive su polizze finanziarie, cioè strumenti di investimento assicurativo ad elevata flessibilità e contenuto finanziario, (ad esempio, quote e commissioni di fondi comuni, carichi o spese di cambio su portafogli di investimenti di assicurazioni sulla vita universali variabili, ecc...), si divide 72 per la commissione.

Scelta della regola[modifica | modifica wikitesto]

Il numero 72 è una buona scelta come numeratore poiché ha molti piccoli divisori: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12. Esso fornisce quindi una buona approssimazione per gli interessi composti annui e per i tipici tassi di interesse composto (da 6% a 10%), approssimazione che diventa meno accurata con l'accrescere del tasso.

Nel caso di interesse composto continuo, il risultato con la maggior accuratezza è quello ottenuto utilizzando il 69. Ciò deriva dal fatto che il logaritmo naturale di 2 è pari a circa 0,693 (ossia il 69,3%). Poiché un interesse composto giornaliero è sufficientemente paragonabile a un interesse composto continuo, nel caso del giornaliero, l'utilizzo di 69, 69,3 o 70 restituisce un risultato più accurato dell'utilizzo di 72. Allo stesso modo, l'utilizzo di 69,3 è preferibile a quello di 72 nel caso di interesse annuali più bassi di quelli sopra menzionati.[3][4]

Doubling time vs half life.svg
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Il grafico riporta una comparazione dei tempi di raddoppiamento e di dimezzamento di crescite (le linee in grassetto) e decrescite (le linee più leggere) e delle loro approssimazioni ottenute con 70/t e 72/t.
Tasso Anni effettivi Tasso * Anni effettivi Regola del 72 Regola del 70 Regola del 69,3 72 migliorata Regola di E-M
0,25% 277,605 69,401 288,000 280,000 277,200 277,667 277,547
0,5% 138,976 69,488 144,000 140,000 138,600 139,000 138,947
1% 69,661 69,661 72,000 70,000 69,300 69,667 69,648
2% 35,003 70,006 36,000 35,000 34,650 35,000 35,000
3% 23,450 70,349 24,000 23,333 23,100 23,444 23,452
4% 17,673 70,692 18,000 17,500 17,325 17,667 17,679
5% 14,207 71,033 14,400 14,000 13,860 14,200 14,215
6% 11,896 71,374 12,000 11,667 11,550 11,889 11,907
7% 10,245 71,713 10,286 10,000 9,900 10,238 10,259
8% 9,006 72,052 9,000 8,750 8,663 9,000 9,023
9% 8,043 72,389 8,000 7,778 7,700 8,037 8,062
10% 7,273 72,725 7,200 7,000 6,930 7,267 7,295
11% 6,642 73,061 6,545 6,364 6,300 6,636 6,667
12% 6,116 73,395 6,000 5,833 5,775 6,111 6,144
15% 4,959 74,392 4,800 4,667 4,620 4,956 4,995
18% 4,188 75,381 4,000 3,889 3,850 4,185 4,231
20% 3,802 76,036 3,600 3,500 3,465 3,800 3,850
25% 3,106 77,657 2,880 2,800 2,772 3,107 3,168
30% 2,642 79,258 2,400 2,333 2,310 2,644 2,718
40% 2,060 82,402 1,800 1,750 1,733 2,067 2,166
50% 1,710 85,476 1,440 1,400 1,386 1,720 1,848
60% 1,475 88,486 1,200 1,167 1,155 1,489 1,650
70% 1,306 91,439 1,029 1,000 0,990 1,324 1,523

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Uno dei primi riferimenti alla regola si trova nel Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (Venezia, 1494. Fol. 181, n. 44) di Luca Pacioli (1445–1514). Qui l'autore presenta la regona in una dissertazione riguardante la stima del tempo di raddoppiamento di un investimento ma non deriva o spiega tale regola, lasciando quindi intendere che l'origine di essa sia precedente di qualche anno agli scritti di Pacioli.[5]

«A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 per 100 l'anno, dico che si parta 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale.»

(Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita)

Modifiche per una miglior precisione[modifica | modifica wikitesto]

Per tassi più elevati, una miglior approssimazione è garantita dall'uso di un numeratore più alto. Come detto, la regola del 72 fornisce solo un'approssimazione piuttosto accurata per tassi di interesse compresi tra il 6 e il 10%. Per interessi maggiori si deve considerare l'aggiunta di un'unità ogni tre punti percentuali sopra l'8%.

o, con lo stesso risultato, ma in forma più semplice:

Regola di E-M[modifica | modifica wikitesto]

La regola di secondo ordine di Eckart–McHale (più semplicemente detta "regola E-M") dà una correzione moltiplicativa alla regola del 69,3, di per sé molto accurata per tassi compresi tra lo 0 e il 5%, rendendola molto più accurata per tassi compresi tra lo 0 e il 20%. Per calcolare l'approssimazione di E-M, si deve semplicemente moltiplicare il risultato della regolal del 69,3 per 200/(200−r) come di seguito:

Per esempio, dato un tasso di interesse del 18%, la regola del 69,3 restituisce un t pari a 3,85 anni. Applicando la regola di E-M, il risultato viene moltiplicato per 200/(200−18), con un tempo di raddoppiamento risultante pari a 4,23 anni, una buona approssimazione del risultato esatto, pari a 4,19 anni, migliore anche di quella ottenuta con la regola del 72.

Come si può vedere il numeratore non è altro che il prodotto di 69,3 per 200, quindi, a patto di mantenere questo valore costante, i fattori possono essere arbitrariamente cambiati.
La regola di E-M può quindi anche essere scritta, lasciando il numeratore pressoché invariato, come:

o

Da queste varianti si ricava che la correzione moltiplicativa è pari a 1, per i valori 70 e 72, se il valore di r è, rispettivamente, 2 e 8. Questi sono quindi i tassi di interesse per cui la regola del 70 e quella del 72 risultano più precise.

In maniera simile, l'approssimante di Padé del terzo ordine fornisce una miglior accuratezza su uno spettro di r più ampio, ma al costo di avere una formula un po' più complessa:

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Interesse composto discreto[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di un interesse composto discreto, il montante (FV) è dato da:[6]

dove è il valore attuale, è il numero di periodi di tempo e è il tasso di intesse per periodo di tempo.

Il montante è il doppio del valore attuale quando è soddisfatta la seguente condizione:

Tale equazione si risolve in nel modo seguente:

Che, riarrangiata, ha questa forma:

Se r è sufficientemente piccolo, allora ln(1 + r) è approssimabile a r, e ciò significa quindi che il secondo termine dell'equazione cresce lentamente quando è vicina a 0.

Chiamando quest'ultimo termine , si vede che la funzione restituisce valori di con una ottima approssimazione solo nel caso di piccoli e positivi.
In particolare quando si ha: , e quindi si ottiene un valore del tempo pari a:

moltiplicando tutto per cento:

Per quanto invece riguarda la derivazione dei miglioramenti presentati nei precedenti paragrafi, si noti che può essere approssimato ancora più precisamente dall'espressione (ossia dal secondo termine dello sviluppo in serie di Taylor).
diventa quindi che può essere ulteriormente semplificato come segue:

Interesse composto continuo[modifica | modifica wikitesto]

L'accuratezza dell'approssimazione aumenta rispetto al caso dell'interesse composto discreto, nel caso in cui l'interesse composto diventi continuo. In questo caso la derivazione della regola è più semplice e porta, come detto, ad una regola più accurata. Nel caso di un interesse composto discreto, il montante (FV) è dato da:[6]

Il montante è il doppio del valore attuale quando è soddisfatta la seguente condizione:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Donella Meadows, Thinking in Systems: A Primer, Chelsea Green Publishing, 2008.
  2. ^ Steve Slavin, All the Math You'll Ever Need, John Wiley & Sons, 1989, pp. 153–154, ISBN 0-471-50636-2.
  3. ^ Kalid Azad, Demystifying the Natural Logarithm (ln), BetterExplained. URL consultato il 30 gennaio 2019.
  4. ^ David A. Coutts, The Rule Of 70 and The Rule Of 72 Compared, David A. Coutts, 4 gennaio 2010. URL consultato il 30 gennaio 2018.
  5. ^ Paolo Cenci, Una piccola città, due grandi geni. Fra' Luca Pacioli e il raddoppio del capitale (PDF), in Mario Martelli (a cura di), Pacioli fra arte e geometria, Centro Studio "Mario Pancrazi", 2010, p. 43. URL consultato il 30 gennaio 2019.
  6. ^ a b Annalisa Fabretti, Valore Attuale e Valore Futuro - Criteri VAN e TIR, Università degli Studi di Roma "Tor Vergata", 2018.