Radice numerica moltiplicativa

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In teoria dei numeri, la radice numerica moltiplicativa (o radice digitale moltiplicativa) di un numero naturale in una data base è un numero che si ottiene moltiplicando le cifre di quel numero, e iterando il procedimento fino ad ottenere un numero di una sola cifra. Se la base non viene specificata, si intende la radice numerica moltiplicativa in base 10.

Per esempio, la radice numerica moltiplicativa di 31917 è 4, perché 3·1·9·1·7=189; 1·8·9=72; 7·2=14 1·4=4. Poiché ci sono voluti 4 passaggi per arrivare alla radice numerica moltiplicativa, il numero 31917 ha una persistenza moltiplicativa di 4.

La radice numerica moltiplicativa è l'analogo rispetto alla moltiplicazione della radice numerica rispetto all'addizione.

n Primi numeri ad avere n come radice numerica moltiplicativa in base 10
0 0, 10, 20, 25, 30, 40, 45, 50, 52, 54, 55, 56, 58[1]
1 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111[2]
2 2, 12, 21, 26, 34, 37, 43, 62, 73, 112, 121, 126[3]
3 3, 13, 31, 113, 131, 311, 1113, 1131, 1311, 3111[4]
4 4, 14, 22, 27, 39, 41, 72, 89, 93, 98, 114, 122[5]
5 5, 15, 35, 51, 53, 57, 75, 115, 135, 151, 153, 157[6]
6 6, 16, 23, 28, 32, 44, 47, 48, 61, 68, 74, 82, 84[7]
7 7, 17, 71, 117, 171, 711, 1117, 1171, 1711, 7111[8]
8 8, 18, 24, 29, 36, 38, 42, 46, 49, 63, 64, 66, 67[9]
9 9, 19, 33, 91, 119, 133, 191, 313, 331, 911, 1119[10]

Persistenza moltiplicativa[modifica | modifica sorgente]

Il numero di volte in cui è necessario ripetere la moltiplicazione delle cifre è detto persistenza moltiplicativa del numero. Al momento sono noti, in base 10, numeri con persistenze moltiplicative che vanno da 1 ad 11. Se esiste almeno un numero con una persistenza moltiplicativa maggiore di 11, esso deve essere più grande di 10233[11]. Si congettura che il più grande numero privo di cifre 1 ad avere 11 come persistenza moltiplicativa sia 77777733332222222222222222222. Una congettura più ampia ipotizza che, per ogni p maggiore di 2, esista sempre un massimo numero privo di cifre 1 con persistenza moltiplicativa p.
In base 2, la massima persistenza moltiplicativa è di 1. Non si conoscono eventuali valori massimi della persistenza moltiplicativa in altre basi di numerazione; se, come è stato congetturato, tutti le potenze di 2 2m con m>15 contengono almeno una cifra 0 in base 3, ne seguirebbe che il massimo valore per la persistenza moltiplicativa in base 3 è 3[12].
Il matematico Paul Erdős ha dimostrato che, ignorando gli zeri, la persistenza moltiplicativa di un numero n vale al massimo

c \ln \ln n,

dove c è una costante che dipende dalla base di numerazione usata.

Congettura di Sloane sulla persistenza moltiplicativa[modifica | modifica sorgente]

Nel 1973 il matematico Neil Sloane ha avanzato l'ipotesi che nessun numero possa avere una persistenza moltiplicativa maggiore del numero stesso. Il problema è ancora aperto relativamente alle tipiche basi di numerazione. Per quanto riguarda la base fattoriale, un sistema di numerazione esotico, è stato invece trovato un controesempio. Infatti, nella base fattoriale, è possibile trovare numeri con una persistenza moltiplicativa arbitrariamente grande, dato che

n!n + \sum_{i = 1}^{i - 1} i!

ha n sia come radice numerica moltiplicativa che come persistenza moltiplicativa, ed è quindi il limite superiore del numero richiesto[13].

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Il concetto di persistenza moltiplicativa può essere generalizzato moltiplicando, invece delle cifre stesse, la loro k-esima potenza finché il risultato non è costante. La persistenza rispetto a tale operazione è detta "k-persistenza moltiplicativa"; la normale persistenza moltiplicativa è la 1-persistenza moltiplicativa. Con k>2, l'iterazione del procedimento conduce sempre a 1 per i numeri a cifra ripetuta e a 0 per tutti gli altri numeri.

k-persistenze moltiplicative per i primi k
k k-persistenza moltiplicativa dei primi numeri interi
2 0, 7, 6, 6, 3, 5, 5, 4, 5, 1, ...[14]
3 0, 4, 5, 4, 3, 4, 4, 3, 3, 1, ...[15]
4 0, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 1, ...[16]
5 0, 4, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 1, ...[17]
6 0, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 1, ...[18]
7 0, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 1, ...[19]
8 0, 3, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 1, ...[20]
9 0, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 1, ...[21]
10 0, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, ...[22]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Sequenze numeriche[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Sequenza A034048 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ (EN) Sequenza A002275 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ (EN) Sequenza A034049 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  4. ^ (EN) Sequenza A034050 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  5. ^ (EN) Sequenza A034051 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  6. ^ (EN) Sequenza A034052 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  7. ^ (EN) Sequenza A034053 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  8. ^ (EN) Sequenza A034054 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  9. ^ (EN) Sequenza A034055 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  10. ^ (EN) Sequenza A034056 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  11. ^ Phil Carmody, OEIS A003001, and a 'Zero-Length Message', 23 luglio 2003.
  12. ^ Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2ª ed., New York, Springer-Verlag, 1994, pp. 262-263. ISBN 978-0-387-20860-2.
  13. ^ Mark R. Diamond, Daniel D. Reidpath, A Counterexample to Conjectures by Sloane and Erdős concerning the Persistence of Numbers in Journal of Recreational Mathematics, 29 (2), 1998, pp. 89-92.
  14. ^ (EN) Sequenza A031348 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  15. ^ (EN) Sequenza A031349 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  16. ^ (EN) Sequenza A031350 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  17. ^ (EN) Sequenza A031351 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  18. ^ (EN) Sequenza A031352 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  19. ^ (EN) Sequenza A031353 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  20. ^ (EN) Sequenza A031354 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  21. ^ (EN) Sequenza A031355 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  22. ^ (EN) Sequenza A031356 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
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