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Quadratura di Gauss

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Confronto tra la regola di quadratura di Gauss a 2 punti e la regola dei trapezi.
Confronto tra la regola di quadratura di Gauss a 2 punti e la regola dei trapezi. La linea blu è il polinomio , il cui integrale in [-1, 1] è 2/3. La regola del trapezio ritorna l'integrale della linea a tratto arancio, pari a . La regola di quadratura di Gauss a 2 punti ritorna l'integrale della linea a tratto nera, pari a . Tale risultato è esatto in quanto la regione verde ha la stessa area delle regioni rosse.

In analisi numerica, le formule gaussiane di quadratura sono formule di quadratura numerica di massimo grado di precisione, utilizzate per l'approssimazione di un integrale definito della forma conoscendo valori della funzione nell'intervallo .

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Dati punti nodali in un intervallo , e una funzione , il grado di precisione di una formula interpolatoria di quadratura è uguale a se questi nodi sono gli zeri di un polinomio ortogonale in rispetto ad una funzione peso .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per ipotesi si scelga una ,spazio dei polinomi di grado ,la scelta della infatti non influenza la successione di valori .

Vale allora che

perché essendo univocamente determinati i pesi ,la formula di quadratura deve essere di precisione almeno . Si consideri il polinomio ,un polinomio di grado ,tale che per ogni i, e che ,dove è un polinomio ortogonale di grado avente gli zeri nei punti nodali.

È quindi possibile scrivere

ma il secondo membro dell'uguaglianza vale 0 essendo polinomio ortogonale. Ne segue che

da cui risulta che, considerando il primo e l'ultimo membro della serie di uguaglianze, i pesi sono i coefficienti di una formula di quadratura numerica di grado .

Calcolo dei pesi[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione di formula interpolatoria di quadratura numerica si ha che il generico peso di interpolazione è costruito come

o generalmente

dove è il coefficiente del polinomio di Lagrange di indice . può anche essere espresso come

Se si intende con la funzione così definita:

Il polinomio ortogonale ha zeri, quindi

dunque

Pertanto il generico peso è calcolabile come

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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