Punti notevoli di un triangolo

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In geometria i punti notevoli di un triangolo sono punti del piano che in qualche modo ricordano il centro del cerchio. Il baricentro, il circocentro, l'incentro e l'ortocentro del triangolo erano, ad esempio, familiari agli antichi greci e possono essere ottenuti da semplici costruzioni. Ognuno di loro ha la proprietà di essere invariante. In altre parole, occuperà sempre la stessa posizione (relativa ai vertici) nelle operazioni di rotazione, riflessione e dilatazione. Di conseguenza, questa invarianza è necessaria per ogni punto che possa essere considerato come centro o punto notevole del triangolo. Sono, ad esempio, esclusi punti ben noti, come i punti di Brocard, dal nome Henry Brocard (1845-1922), che non sono invarianti per la riflessione. I punti notevoli sono particolarmente importanti perché permettono di definire caratteristiche importanti dei relativi triangoli.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

I greci avevanio scoperto i classici punti notevoli del triangolo ma non ne avevano dato una definzione. In seguito diversi altri punti notevoli associati ai triangoli furono scoperti, quali il punto di Fermat, il punto dei nove centro, il punto di Gergonne e il punto di Feuerbach. Con il rinnovato interesse sulla geoemtria del triangolo negli anni intorno al 1980 si presto' attenzione alla proprietà che questi punti possedevano e che hanno consentito di darne una definzione formale come punto motevole o centro del triangolo.[1][2][3] Nell'aprile del 2015 l'Encyclopedia of Triangle Centers curata da Clark Kimberling conteneva oltre 6.000 punti d'interesse di un triangolo.[4]

I punti notevoli più noti[modifica | modifica wikitesto]

I cinque punti notevoli del triangolo più noti sono:

  • l'ortocentro, ottenuto dall'incrocio delle altezze, è interno nei triangoli acutangoli, esterno nei triangoli ottusangoli e coincide col vertice dell'angolo retto nei triangoli rettangoli;
  • l'incentro, ottenuto con l'incrocio delle bisettrici, è sempre interno. È un punto equidistante da tutti i lati ed è il centro del cerchio inscritto;
  • il baricentro, ottenuto con l'incrocio delle mediane, è il punto d'equilibrio della figura e per questo è sempre interno;
  • il circocentro, ottenuto con l'incrocio degli assi. È equidistante dai vertici ed è il centro del cerchio circoscritto.
  • l'excentro, punto di intersezione delle bisettrici di due angoli esterni e della bisettrice dell'angolo interno non adiacente ad essi. Ogni triangolo ha tre excentri, che sono i centri delle tre circonferenze exinscritte (o exscritte), cioè tangenti ad un lato del triangolo ed ai prolungamenti degli altri due.

La bisettrice è una semiretta che divide l'angolo in 2 parti congruenti. La mediana è un segmento che congiunge il vertice al punto medio del lato opposto. L'asse di un segmento è la perpendicolare al segmento che passa per il punto medio di quest'ultimo. L'altezza è la perpendicolare che parte da un vertice e arriva sul lato opposto.

Altri punti notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Ci sono molti altri punti notevoli. Definiamo concisamente alcuni di questi punti riferendoci ad un triangolo T i cui vertici denotiamo con A, B e C e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con a, b e c.

  • punto di Bevan di T è il circocentro del triangolo excentrale di T;
  • punto di Apollonio di T è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice A di T con il punto nel quale l'excerchio di T opposto ad A è tangente al cerchio tangente ai tre excerchi di T;
  • punto di Gergonne di T è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice A di T con il punto nel quale il lato di T opposto ad A è tangente dell'incerchio di T;
  • punto di Nagel di T è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di T con il punto nel quale il suo lato opposto è tangente del corrispondente excerchio;
  • punto di Fermat di T è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice A di T con il vertice non appartenente a T del triangolo equilatero uno dei cui lati è il lato a opposto ad A ed esterno a T;
  • punto di Napoleone di T è l'intersezione dei tre segmenti che collegano ognuno un suo vertice A con il centro del triangolo equilatero costruito, esternamente a T, sul lato a opposto ad A;
  • centro dei nove punti di T è il centro del cosiddetto cerchio dei nove punti (o cerchio di Feuerbach) di T; questi nove punti comprendono i tre punti medi dei lati di T, i tre piedi delle altezze di T, i punti medi dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di T con l'ortocentro di T.
  • punto pedale di T è l'intersezione di ciascuna delle tre rette perpendicolari ai lati di T.
  • punto ceviano di T è l'intersezione di tre rette ceviane.

Riferimenti[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Lista dei punti notevoli più recenti: Triangle centers. URL consultato il 12 aprile 2015.
  2. ^ Summary of Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle [1] (Accessed on 23 may 2009)
  3. ^ Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle in Mathematics Magazine, vol. 67, nº 3, 1994, pp. 163–187, DOI:10.2307/2690608, JSTOR 2690608.
  4. ^ Centers X(5001) -

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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