Prodotto di Kronecker

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In matematica, nel campo dell'algebra lineare, il prodotto di Kronecker, indicato con , è una operazione tra due matrici di dimensioni arbitrarie, sempre applicabile, al contrario dell'altra più usuale moltiplicazione di matrici.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se A è una matrice m×n e B è una matrice p×q, allora il loro prodotto di Kronecker è una matrice mp×nq definita a blocchi nel modo seguente:

Cioè, esplicitando ogni termine:

Notare che questo prodotto non è un'estensione della sopra citata moltiplicazione "righe per colonne", in quanto la moltiplicazione tra una matrice 3×2 e una 2×3 produce una matrice 6×6, e non una 3×3.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Bilinearità e associatività[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto di Kronecker è un caso speciale di prodotto tensoriale, dunque è bilineare e associativo:

(se B e C hanno la stessa dimensione)
(se A e B hanno la stessa dimensione)
(k scalare)

Questo prodotto non è commutativo, tuttavia e sono equivalenti per permutazione, cioè esistono matrici di permutazione P e Q tali che . Se A e B sono quadrate, allora sono simili per permutazione, cioè vale che P = QT

Prodotto misto[modifica | modifica wikitesto]

Se A, B, C e D sono matrici tali che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e tra B e D, allora esiste anche e vale che

.

Ne segue che è invertibile se e solo se lo sono A e B e l'inversa è data da

Spettro[modifica | modifica wikitesto]

Siano A e B quadrate di ordine n e q rispettivamente e siano λ1, ..., λn gli autovalori di A, μ1, ..., μq quelli di B. Allora gli autovalori di sono

Ne segue che la traccia è e che il determinante è .

Valori singolari[modifica | modifica wikitesto]

Siano A e B matrici rettangolari con valori singolari non nulli, rispettivamente , i=1,..,rA e , j=1,..,rB.

Allora il prodotto ha rArB valori singolari che sono esattamente , i=1,..,rA, j=1,..,rB.

Dal momento che il rango di una matrice è uguale al numero di valori singolari non nulli, allora è .

Relazioni col prodotto tensoriale astratto[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto di Kronecker tra matrici corrisponde al prodotto tensoriale astratto di mappe lineari. Specificatamente, se le matrici A e B rappresentano le trasformazioni lineari V1 → W1 e V2 → W2, allora la matrice rappresenta il prodotto tensoriale tra la due mappe V1 V2 → W1 W2.

Applicazioni al graph matching[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono le matrici di adiacenza di due grafi non pesati, allora è la matrice di adiacenza di un grafo, detto di associazione, i cui vertici corrispondo ad assegnamenti fra i vertici dei due grafi originali e le cui clique massime/massimali corrispondo a match massimi/massimali fra i due grafi originali.

Equazioni matriciali[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto di Kronecker può essere usato per la rappresentazione di alcune equazioni matriciali. Si consideri ad esempio l'equazione AXB=C, dove A,B e C sono matrici date e X è incognita. Possiamo riscrivere tale equazione come

dove se X è di ordine m×n, vec(X) denota il vettore di dimensione m×n formato dalle entrate di X scritte ordinatamente per colonna, cioè

.

Dalle proprietà enunciate finora, ne viene che l'equazione AXB=C ha un'unica soluzione se e solo se A e B sono non singolari.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto di Kronecker prende il nome da Leopold Kronecker, ma ci sono poche prove che Kronecker sia stato il primo a definirlo e usarlo. In effetti, in passato è anche stato usato col nome di matrice di Zehfuss, da Johann Georg Zehfuss.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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