Processo di nascita e morte

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Un processo di nascita e morte è un processo stocastico markoviano a tempo continuo su spazio degli stati l'insieme dei numeri naturali, che simula l'andamento di una popolazione i cui unici cambiamenti siano le nascite e le morti. In altre parole, se il processo si trova in uno stato n, può solamente passare o allo stato n+1 (nascita) o allo stato n-1 (morte). I processi di nascita e morte hanno importanti applicazioni in biologia, teoria delle code, demografia

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Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un processo di nascita e morte è un processo stocastico su \mathbb N che soddisfa le seguenti proprietà:

  • Gli incrementi sono indipendenti, ovvero la quantità di passaggi di stato in intervalli disgiunti sono indipendenti tra loro.
  • Se il processo si trova in n, la probabilità di una nascita in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ovvero per h\rightarrow 0
\mathbb P (N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda_n h + o(h)
  • Se il processo si trova in n>0, la probabilità di una morte in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ovvero per h\rightarrow 0
\mathbb P (N_{t+h} - N_{t} = -1) = \mu_n h + o(h)
  • Se il processo si trova in n, la probabilità che il processo si allontani per più di due stati è trascurabile, ovvero, per h\rightarrow 0
\mathbb P (|N_{t+h} - N_{t}| \geq 2) = o(h)

Le quantità λn e μn sono i coefficienti di natalità e di mortalità.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

\mathbb P (N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1-(\mu_n+\lambda_n)h + o(h)
  • Il tempo di attesa tra un passaggio di stato e il successivo ha legge esponenziale di parametro (λn + μn)
  • Il processo di Poisson è un caso generale di processo di nascita e morte nel caso in cui μn=0 e λn=λ per ogni n

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Samuel Karlin e Howard M. Taylor, A first course in stochastic processes, Academic Press, 1975.
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