Problema di Wahba

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Il problema di Wahba, originariamente formulato da Grace Wahba nel 1965,[1] consiste nel determinare una matrice di rotazione (ovvero una matrice del gruppo ortogonale speciale) che meglio approssima la trasformazione fra due sistemi di coordinate a partire da due insiemi di osservazioni vettoriali. Un tipico esempio di applicazione consiste nel determinare l'assetto di un velivolo o satellite artificiale a partire da osservazioni ottenute da diversi sensori (che possono includere GNSS, giroscopio, magnetometro, accelerometro, etc.).

Tra le soluzioni al problema, vi sono il metodo q di Davenport, l'algoritmo QUEST, e diversi metodi basati sulla decomposizione ai valori singolari (SVD).[2]

Il problema di Wahba è correlato al problema di Procuste ortogonale, con la differenza che quest'ultimo ammette come soluzioni matrici ortogonali che non rappresentano necessariamente rotazioni.[3]

Formulazione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione costo ottimizzata nel problema di Wahba con osservazioni è

dove è il k-esimo vettore osservato nel sistema di coordinate di riferimento, è il k-esimo vettore osservato nel sistema di coordinate solidali, è una matrice di rotazione tra i due sistemi di coordinate,[4] e è un insieme di pesi.

Soluzione tramite decomposizione ai valori singolari[modifica | modifica wikitesto]

È possibile risolvere il problema di Wahba tramite decomposizione ai valori singolari. Tale metodo è tuttavia usato meno comunemente rispetto ad altre soluzioni per via del suo costo computazionale. Definendo una matrice come

è possibile fattorizzare nella sua decomposizione ai valori singolari

.

La soluzione al problema di Wahba si ottiene come

dove

.[5]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Wahba (1965)
  2. ^ Markley e Mortari (2000)
  3. ^ Markley e Mortari (2000), p. 2
  4. ^ Nella formulazione originale, la matrice di rotazione trasforma dal sistema di coordinate solidali al sistema di coordinate di riferimento; in molti contesti, la trasformazione è definita in direzione opposta.
  5. ^ Markley e Mortari (2000), p. 3

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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