Precessione di Larmor

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Schematizzazione della precessione del nucleo atomico

In meccanica quantistica e fisica atomica, la precessione di Larmor, il cui nome è dovuto a Joseph Larmor, è la precessione dei momenti magnetici degli elettroni o dei nuclei atomici in un atomo attorno alla direzione di un campo magnetico esterno omogeneo.

Il campo magnetico \mathbf {B} esercita un momento meccanico \mathbf {\Gamma} dato dal prodotto vettoriale:

\mathbf {\Gamma} = \mathbf {\mu}\times\mathbf {B}=\gamma\mathbf {J}\times\mathbf {B}

dove \mathbf {\mu} è il momento di dipolo magnetico, \mathbf {J} è il momento angolare e \gamma è il rapporto giromagnetico, che fornisce la costante di proporzionalità tra momento angolare e momento magnetico.

La precessione di Larmor fornisce un semplice modello teorico che permette di spiegare il diamagnetismo. Inoltre, ha un importante impiego tecnologico nella risonanza magnetica nucleare: per il nucleo di idrogeno, il più usato per questo scopo, il valore del rapporto giromagnetico \gamma è di 42.5756 MHz/T.

La precessione[modifica | modifica wikitesto]

Il campo magnetico esercita un momento meccanico, producendo un moto giroscopico (come una trottola). La frequenza della precessione si dice frequenza di Larmor, e dipende dal campo di induzione magnetica \mathbf B e dal momento magnetico \mathbf \mu = \gamma \mathbf J. Essa equivale a:

\nu_L = \frac{\gamma B}{2 \pi}

Il momento meccanico \mathbf M cui è sottoposto un momento magnetico \mathbf \mu in un campo di induzione magnetica omogeneo \mathbf B è dato da:

\mathbf M = \mathbf \mu \times \mathbf B = \gamma \mathbf J \times \mathbf B = - \gamma \mathbf B \times \mathbf J

poiché in generale si può scrivere il momento magnetico come il prodotto del momento angolare, \mathbf J per il fattore giromagnetico, \gamma:

\mathbf \mu = \gamma \mathbf J

In base alla seconda equazione cardinale il momento meccanico si può scrivere come:

\mathbf M = \frac{d \mathbf J}{dt}

avendo supposto la velocità del polo nulla (l'atomo è fermo). La derivata di un vettore a modulo costante, come il momento angolare in questo caso, è:

\mathbf M = \frac{d\mathbf J}{dt} = \mathbf \omega \times \mathbf J

La velocità angolare \mathbf \omega a cui il momento magnetico precede attorno alla direzione del campo è:

\mathbf \omega =  - \gamma \mathbf B

e la rispettiva frequenza di Larmor:

\nu_L = \frac{\omega_L}{2 \pi}=\frac{\gamma B}{2 \pi}

Considerando una particella di carica e di massa m, si ha:

\omega = \frac{egB}{2m}

dove g è il fattore-g dell'oggetto considerato. Nel caso di un nucleo, esso tiene conto degli effetti dello spin dei nucleoni, del loro momento angolare orbitale e dell'accoppiamento tra di essi.

Precessione di Thomas[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Precessione di Thomas.

Un trattamento completo del fenomeno deve includere gli effetti della precessione di Thomas, in seguito ai quali la precedente equazione acquista un termine aggiuntivo:

\omega_s = \frac{geB}{2mc} + (1-\gamma)\frac{eB}{mc\gamma}

dove \gamma è il fattore di Lorentz. Per l'elettrone g è molto vicino a 2 (2.002..), e ponendo g=2 si ha:

\omega_{s(g=2)} = \frac{eB}{mc\gamma}

Equazione di Bargmann-Michel-Telegdi[modifica | modifica wikitesto]

La precessione dello spin di un elettrone in un campo magnetico omogeneo è descritta dall'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi, detta talvolta equazione BMT:[1]

\frac{da^{\tau}}{ds} = \frac{e}{m} u^{\tau}u_{\sigma}F^{\sigma \lambda}a_{\lambda} 
+ 2\mu (F^{\tau \lambda} - u^{\tau} u_{\sigma} F^{\sigma \lambda})a_{\lambda}

dove a^{\tau}, e, m, e \mu sono rispettivamente il quadrivettore di polarizzazione, carica, massa e momento magnetico, mentre u^{\tau} è la quadrivelocità dell'elettrone e F^{\tau \sigma} il tensore elettromagnetico. Inoltre:

a^{\tau}a_{\tau} = -u^{\tau}u_{\tau} = -1 \qquad u^{\tau} a_{\tau}=0

Utilizzando l'equazione del moto:

m\frac{du^{\tau}}{ds} = e F^{\tau \sigma}u_{\sigma}

si può riscrivere il primo termine nel membro a destra dell'equazione BMT come:

(- u^{\tau}w^{\lambda} + u^{\lambda}w^{\tau})a_{\lambda}

dove w^{\tau} = du^{\tau}/ds è la quadriaccelerazione. Questo termine descrive il trasporto di Fermi-Walker e conduce alla precessione di Thomas. Il secondo termine è invece associato alla precessione di Larmor.

Quando un campo elettromagnetico è uniforme nello spazio, o quando si possono trascurare forze come il gradiente \nabla({\boldsymbol\mu}\cdot{\boldsymbol B}), il moto traslazionale della particella è descritto dalla relazione:

{du^\alpha\over d t}={e\over m}F^{\alpha\beta}u_\beta

L'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi è allora riscritta nella forma:[2]

{\;\,dS^\alpha\over d t}={e\over m}\bigg[{g\over2}F^{\alpha\beta}S_\beta+\left({g\over2}-1\right)u^\alpha\left(S_\lambda F^{\lambda\mu}U_\mu\right)\bigg]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ V. Bargmann, L. Michel, and V. L. Telegdi, Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field, Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).
  2. ^ Jackson, Pag. 563

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Louis N. Hand and Janet D. Finch., Analytical mechanics, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1998, p. 192, ISBN 978-0-521-57572-0.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) M. Conte, R. Jagannathan, S. A. Khan and M. Pusterla, Beam optics of the Dirac particle with anomalous magnetic moment, Particle Accelerators, 56, 99-126 (1996); (Preprint: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]