Porta NOT controllata

Nell'informatica, la porta NOT controllata (anche C-NOT o CNOT) è una porta quantistica; ed è un componente essenziale nella costruzione di un computer quantistico. Può essere utilizzato per entangle e disentangle gli stati EPR. Qualsiasi circuito quantistico può essere simulato con un grado arbitrario di accuratezza utilizzando una combinazione di porte CNOT e rotazioni sul singolo qubit.

Operazioni

La porta CNOT opera su un registro quantistico costituito da 2 qubit. La porta CNOT inverte il secondo qubit (il qubit target) se e solo se il primo qubit (il qubit di controllo) è $|1\rangle$.

INPUT		OUTPUT
Controllo	Target	Controllo	Target
$|0\rangle$	$|0\rangle$	$|0\rangle$	$|0\rangle$
$|0\rangle$	$|1\rangle$	$|0\rangle$	$|1\rangle$
$|1\rangle$	$|0\rangle$	$|1\rangle$	$|1\rangle$
$|1\rangle$	$|1\rangle$	$|1\rangle$	$|0\rangle$

Se si consente solo $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ come valori di input per entrambi i qubit, l'uscita TARGET della porta CNOT corrisponde al risultato di una porta XOR classica. Fissando l'ingresso di CONTROLLO a $|1\rangle$, l'uscita TARGET della porta CNOT produce il risultato di una porta NOT classica.

Più in generale, gli input possono essere una sovrapposizione lineare di $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$. La porta CNOT trasforma lo stato quantico:

$a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle$

in:

$a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle$

La porta CNOT può essere rappresentata dalla matrice (forma della matrice di permutazione):

$\operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.$

La prima realizzazione sperimentale di una porta CNOT fu compiuta nel 1995. Qui fu usato un singolo ione berillio in una trappola. I due qubit sono stati codificati in uno stato ottico e nello stato vibrazionale dello ione all'interno della trappola. Al momento dell'esperimento, l'affidabilità dell'operazione CNOT è stata misurata nell'ordine del 90%.

Oltre a una normale porta NOT controllata, è possibile costruire una porta NOT controllata dalla funzione che accetta un numero arbitrario n + 1 di qubit come input, dove n + 1 è maggiore o uguale a 2 (un registro quantistico). Questa porta inverte l'ultimo qubit del registro se e solo se una funzione incorporata, con i primi n qubit come input, restituisce un 1. La funzione della porta NOT controllata è un elemento essenziale dell'algoritmo di Deutsch-Jozsa.

Comportamento nella base trasformata di Hadamard

La porta CNOT nella base trasformata di Hadamard.

Se visto solo nella base computazionale $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$, il comportamento del C_NOT sembra essere come l'equivalente porta classica. Tuttavia, la semplicità nell'etichettare il qubit di controllo e il target non riflette la complessità di ciò che accade per la maggior parte dei valori di input di entrambi i qubit.

L'intuizione può essere vinta esprimendo la porta C_NOT rispetto ad una base trasformata di Hadamard $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$. La base trasformata di Hadamard di un registro di un qubit è data da

$|+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),$

e la base corrispondente di un registro a 2 qubit è

$|++\rangle =|+\rangle |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )$,

ecc. Utilizzando un C_NOT su questa base, lo stato del secondo qubit rimane invariato, e lo stato del primo qubit viene capovolto, in base allo stato del secondo bit. (Per i dettagli vedi sotto). Così, in questa base, il senso di quale bit sia il bit di controllo e quale il bit target viene invertito, ma non abbiamo affatto cambiato la trasformazione, solo il modo in cui ci stiamo pensando.

La base computazionale $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ è la base di autovettori per la rotazione nella direzione Z, mentre la base di Hadamard $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ è la base di autovettori per ruotare nella direzione X. Passando a X e Z e ai qubit 1 e 2, quindi, si ripristina la trasformazione originale. Ciò esprime una simmetria fondamentale della porta CNOT.

Osservare che entrambi i qubit sono (ugualmente) influenzati in un'interazione C_NOT è importante quando si considera il flusso di informazioni in sistemi quantici correlati.

Dettagli del calcolo

Lavorando attraverso ciascuno degli stati base di Hadamard, il primo qubit si sposta tra $|+\rangle$ e $|-\rangle$quando il secondo qubit è $|-\rangle$:

Stato iniziale in base Hadamard	Stato equivalente in base computazionale	Operatore applicato	Stato in base computazionale dopo CNOT	Stato equivalente in base Hadamard
$|++\rangle$	${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )$	CNOT	${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|11\rangle +|10\rangle )$	$|++\rangle$
$|+-\rangle$	${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle )$	CNOT	${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|11\rangle -|10\rangle )$	$|--\rangle$
$|-+\rangle$	${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle -|10\rangle -|11\rangle )$	CNOT	${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle -|11\rangle -|10\rangle )$	$|-+\rangle$
$|--\rangle$	${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle )$	CNOT	${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle -|11\rangle +|10\rangle )$	$|+-\rangle$

Un circuito quantistico che esegue una trasformata di Hadamard seguita da C_NOT e un'altra trasformata di Hadamard e può essere descritto in termini di operatori matriciali:

(H₁ ⊗ H₁)⁻¹ . C_NOT . (H₁ ⊗ H₁)

La trasformata di Hadamard a singolo qubit, H1, è il negativo della sua stessa inversa. Il prodotto tensoriale di due trasformate di Hadamard che operano (indipendentemente) su due qubit è etichettato come H2. Possiamo quindi scrivere le matrici come:

H₂ . C_NOT . H₂

Quando viene moltiplicato, questo produce una matrice che scambia i termini $|01\rangle$ e $|11\rangle$, lasciando invariati i termini $|00\rangle$ e $|10\rangle$. Questo è equivalente a una porta CNOT dove il qubit 2 è il controllo mentre il qubit 1 è il target:

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}&{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Costruire uno stato di Bell

Un'applicazione comune del gate C_NOT consiste nel correlare al massimo due qubit nello stato di Bell $|\Phi ^{+}\rangle$; questo fa parte della configurazione della codifica superdensa, del teletrasporto quantistico e degli algoritmi di crittografia quantistica.

Nel costruire $|\Phi ^{+}\rangle$, gli ingressi A (controllo) e B (target) alla porta C_NOT sono:

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}$ e $|0\rangle _{B}$

Dopo aver applicato C_NOT, lo stato Bell risultante ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$ ha la proprietà che i singoli qubit possono essere misurati usando qualsiasi base e presenteranno sempre una possibilità 50/50 di risoluzione per ciascuno stato. In effetti, i singoli qubit sono in uno stato indefinito. La correlazione tra i due qubit è la descrizione completa dello stato dei due qubit; se scegliamo la stessa base per misurare i due qubit, troveremo che le misurazioni saranno perfettamente correlate.

Osservando i calcoli sembra che il qubit A stia influenzando il qubit B. MA cambiando il nostro punto di vista con la base di Hadamard si dimostra che, in modo simmetrico, il qubit B sta influenzando il qubit A.

Lo stato di input può essere alternativamente visualizzato come:

$|+\rangle _{A}$ e ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}$

Da questo punto di vista, i qubit di controllo e di target sono concettualmente scambiati e il qubit A è invertito quando il qubit B è $|-\rangle _{B}$. Lo stato dell'uscita dopo l'applicazione della porta C_NOT diventa${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle )$ che si può dimostrare essere esattamente lo stesso stato di ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$.

Porta C-ROT

La porta C-ROT (rotazione Rabi controllata) equivale a una porta C-NOT ad eccezione di una rotazione $\pi /2$ del nucleo attorno a asse z.

Bibliografia

• Michael A. Nielsen e Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-63235-8.
• C. Monroe, D. Meekhof, B. King, W. Itano e D. Wineland, Demonstration of a Fundamental Quantum Logic Gate, in Physical Review Letters, vol. 75, n. 25, 1995, pp. 4714–4717, Bibcode:1995PhRvL..75.4714M, DOI:10.1103/PhysRevLett.75.4714, PMID 10059979. PDF dell'articolo (PDF), su tf.nist.gov.

Collegamenti esterni

• (EN) Michael Westmoreland: "Isolation and information flow in quantum dynamics" - discussion around the C_not gate, su youtube.com.