Polinomio a valori interi

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In matematica, un polinomio a valori interi è un polinomio a coefficienti razionali tale che è un numero intero per ogni intero . Tutti i polinomi a coefficienti interi sono a valori interi, ma non viceversa: ad esempio, il polinomio

è a valori interi ma i suoi coefficienti non sono interi.

Classificazione[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i polinomi nella forma

sono polinomi a valori interi, perché per ogni intero il valore di è uguale al coefficiente binomiale , che è un numero intero.

Pólya dimostrò nel 1919 che tutti i polinomi a valori interi derivano da questi: più precisamente, se è un polinomio a valori interi allora esistono dei coefficienti interi (univocamente determinati) tali che

.[1]

Dal punto di vista algebrico, questo implica che l'insieme dei polinomi a valori interi è un gruppo abeliano libero, e l'insieme è una sua base.

La dimostrazione di questo teorema è effettuata attrvarso il metodo delle differenze finite.

L'insieme dei polinomi a valori interi è anche un anello, che è strettamente contenuto tra i due anelli dei polinomi e dei polinomi a coefficienti (rispettivamente) interi e razionali, ed è generalmente indicato come . Dal punto di vista algebrico, questo anello è un dominio di Prüfer di dimensione 2; in particolare, non è noetheriano. I suoi ideali primi possono essere classificati attraverso i completamenti delle localizzazioni di rispetto ai suo ideali primi.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di polinomio a valori interi può essere generalizzato a qualsiasi dominio d'integrità : l'insieme dei polinomi a valori interi su è formato dai polinomi a coefficienti nel campo dei quozienti di tali che per ogni . La struttura di come -modulo e come anello è strettamente legata alle proprietà algebriche di . Ad esempio, se è un dominio noetheriano, allora è un dominio di Prüfer se e solo se è un dominio di Dedekind i cui campi residui sono finiti.[2] È anche possibile che coincida semplicemente con l'anello dei polinomi , come ad esempio nel caso in cui i campi residui di siano infiniti.[3]

È inoltre possibile considerare non sono polinomi, ma più in generale funzioni razionali o funzioni intere a valori interi, così come è possibile considerare polinomi che hanno più di una indeterminata. Ad esempio, se è un dominio di valutazione discreta e è un elemento che genera il suo ideale massimale, allora

è una funzione razionale che è a valori interi su (ovvero per ogni ).

Infine, queste costruzioni possono essere considerate considerando polinomi (o funzioni razionali) che abbiano valori interi solo su un sottoinsieme o, ancora più in generale, su un insieme che è contenuto in un campo che contiene anche ; ovvero, è possibile considerare l'insieme

,

dove è il campo dei quozienti di . In questo caso, le proprietà di dipendono sia dalle proprietà di che da quelle di .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (DE) George Pólya, Über ganzwertige Polynome in algebraischen Zahlkörpern, in Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 149, 1919, pp. 97-116.
  2. ^ Cahen e Chabert, p.126, Theorem VI.1.17.
  3. ^ Cahen e Chabert, p.10, Corollary I.3.7.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Paul-Jean Cahen e Jean-Luc Chabert, Integer-Valued Polynomials, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0388-3.
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